重要初等函数 · 学习路线

先比较两边的符号，再按 $x+3$ 的符号分段。

每个分段方程求出的候选都要回到该段的范围核验。

绝对值非负，所以 $2x-1\ge 0$，即 $x\ge 1/2$。

在这个必要范围内 $x+3>0$，故原方程等价于 $x+3=2x-1$，得 $x=4$。

回代有 $|4+3|=7=2\cdot 4-1$，且 $4\ge 1/2$，故解集恰为 $\{4\}$。

定义域是全体实数，但等式要求右端非负；$x=1/2$ 时右端为零而左端非零。若从 $-(x+3)=2x-1$ 得到 $x=-2/3$，它不在该分支要求的 $x<-3$ 内，必须剔除。

先找一条递增直线与递减直线的交点，但要把第三项也代进去。

证明全局上界可以在候选点两侧分别用不同的一项控制 $F$。

令 $7-t=t+2$，得 $t=5/2$。此时 $2t+1=6$，其余两项均为 $9/2$，所以 $F(5/2)=9/2$。

若 $t\le 5/2$，则 $F(t)\le t+2\le 9/2$；若 $t\ge 5/2$，则 $F(t)\le 7-t\le 9/2$。

两段覆盖全体实数，故全局最大值为 $9/2$，且只能在 $t=5/2$ 取到。

无额外定义域限制；两侧上界证明都含分界点 $5/2$。第三项在取等点必须不小于公共值；这里剩余项为 $6>9/2$，合法。

设 $x=n+r$，其中 $n\in \mathbb{Z}$、$0\le r<1$，分别看 $r<1/2$ 与 $r\ge 1/2$。

奇数右端意味着两项整数部相差一；负数也要向下取整。

写 $x=n+r$，其中 $n=\lfloor x\rfloor \in \mathbb{Z}$、$r\in [0,1)$。

当 $0\le r<1/2$，和为 $2n$，不可能为奇数 $-5$；当 $1/2\le r<1$，和为 $2n+1$。

所以 $2n+1=-5$ 得 $n=-3$，且 $r\in [1/2,1)$，等价于 $x\in [-5/2,-2)$。反过来，该区间内两项固定为 $-3,-2$，故每一点都是解。

整数部必须为整数，小数部一律在 $[0,1)$，对负数同样成立。左端 $-5/2$ 取到和 $-5$；右端 $-2$ 取到和 $-4$，不可包含。

把左边写成 $(x-t{)}^2-(3t-5)$，区分实根存在与互异。

保留判别式、对称轴和两个端点函数值，最后求交并检验临界参数。

令 $f(x)=(x-t{)}^2-(3t-5)$。互异实根要求 $3t-5>0$，即 $t>5/3$；对称轴应有 $1<t<5$。

开口向上且两根均在 $(1,5)$ 内，还须 $f(1)=(t-2)(t-3)>0$ 与 $f(5)=(t-3)(t-10)>0$。

在 $1<t<5$ 下，第一个端点条件给 $t<2$ 或 $t>3$，第二个给 $t<3$；再与 $t>5/3$ 求交，得 $5/3<t<2$。

反过来，这个参数区间内判别式正、轴在区间内、两端函数值正，而轴处值 $5-3t<0$，所以轴的两侧各有一根落在 $(1,5)$ 内，充分性成立。

二次项系数恒为 $1$，无降次情形；“互异”要求严格正判别式。$t=5/3$ 为重根；$t=2$ 时触及左端；$t=3$ 时根为 $1,5$，两端都不可取。