2014 年中科大少年班初试 · 第 3 题

解答

由积化和差，第一项为 $\frac{1}{2}-{\sin }^{2}x$。令 $t=\sin x\in [-1,1]$，则 $f=-t^2-2at+b+\frac{1}{2}$。因 $a>0$，最小值在 $t=1$，故 $b-2a-\frac{1}{2}=-4$，即 $b=2a-\frac{7}{2}$。若 $0<a\le 1$，最大值在顶点 $t=-a$，于是 $a^2+2a-3=1$，其正根 $\sqrt{5}-1>1$，不合本分支。若 $a\ge 1$，最大值在 $t=-1$，两端值之差为 $4a=1-(-4)=5$。因此 $\boxed{a=\frac{5}{4},b=-1}$。