选择性必修第二册 · 第 4 章数列

4.1 数列的概念

把数按顺序排成一列，就是数列。这一节学三种描述它的办法：通项公式、递推公式、前 $n$ 项和，以及它们各自的“使用条件”。

小林开始练跑步，记下每天跑的圈数：第 1 天 $3$ 圈，第 2 天 $5$ 圈，第 3 天 $7$ 圈，第 4 天 $9$ 圈……每天都比前一天多 $2$ 圈。先按规律判断第 6 天的圈数，作答后再用演示比较两种思路。

照这个规律，第 6 天跑几圈？

1. 先认识几个词

要用到：函数的概念，“定义域里每个 $x$ 对应唯一一个值”（回看 3.1 函数的概念及其表示）。

课本用词：数列的下标从正整数开始；递推公式还需要给出足够的初始项，不能把递推式当成通项公式。

数列、项：按确定的顺序排成的一列数叫数列，其中每个数叫这个数列的项。

例：$1,\,4,\,9,\,16,\,25$ 是一个数列，第 1 项是 $1$，第 3 项是 $9$。

下标和 $a_n$：第 $n$ 项记作 $a_n$。下标 $n$ 是位置，$a_n$ 是这个位置上的值，两件事别混。

例：数列 $5,\,3,\,1,\,-1$ 里，$a_2=3$：下标是 $2$，值是 $3$；$a_4=-1$，下标 $4$ 是正整数，值 $-1$ 可以是负数。

有穷数列、无穷数列：项数有限的叫有穷数列，有无限多项的叫无穷数列。

例：一周 7 天每天的最高气温是有穷数列；正奇数 $1,\,3,\,5,\,7,\,\dots$ 排下去是无穷数列。

前 $n$ 项和 $S_n$：从第 1 项加到第 $n$ 项，$S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$。

例：数列 $2,\,4,\,6,\,8$：$S_1=2$，$S_2=2+4=6$，$S_3=2+4+6=12$，$S_4=20$。

数列核心直觉：离散函数、递推链条与和差分解

本质对比 数列 vs 集合

有序性：数列看次序，$(1, 2, 3) \ne (3, 2, 1)$；集合元素无序，$\{1, 2, 3\} = \{3, 2, 1\}$。
可重复性：数列项可重复（如常数列 $2, 2, 2\dots$）；集合元素互异，绝无重复。
函数本质：无穷数列以 $\mathbf{N}^*$、有穷数列以 $\{1,2,\dots,m\}$ 为定义域，是特殊离散函数，图象是一串孤立的点。

表述对比 通项公式 vs 递推公式

通项公式 $a_n=f(n)$：一步到位，给定下标位置 $n$ 即可直接计算该项的值。
递推公式 $a_{n+1}=g(a_n)$：步步累进，必须配齐初始项（如 $a_1$）方能确定数列。
关联转化：递推关系常通过累加、累乘或构造法转化为显式通项公式。

2. 数列是一种特殊的函数：通项公式

每个位置 $n$ 对应唯一一个值 $a_n$，这正是函数：自变量是位置 $n$，定义域是正整数集 $\mathbf N^*$（无穷数列）或 $\{1,2,\dots,m\}$（有穷数列）。如果 $a_n$ 和 $n$ 的关系能写成一个式子 $a_n=f(n)$，这个式子叫数列的通项公式。

离散函数对应：$a_n = f(n)\quad (n \in \mathbf{N}^*)$

递推标准型：$\color{#0284c7}{a_1 = c},\quad \color{#16a34a}{a_{n+1} = g(a_n)}$（初始基底 + 步进规则）

和差核心公式：$a_n = \begin{cases} \color{#0284c7}{S_1}, & n = 1 \\ \color{#16a34a}{S_n - S_{n-1}}, & n \ge 2 \end{cases}$

例 1（看一遍怎么写）

数列的通项公式是 $a_n=n^2-3n$。（1）写出前 4 项；（2）$18$ 是不是这个数列的项？$5$ 呢？

（1）依次代 $n=1,2,3,4$：$a_1=-2$，$a_2=-2$，$a_3=0$，$a_4=4$。前两项相等，数列项完全允许重复。

（2）设 $n^2-3n=18$，得 $(n-6)(n+3)=0$，$n=6$ 或 $n=-3$。下标必为正整数，舍去 $-3$，故 $18$ 是第 $6$ 项。
设 $n^2-3n=5$，得 $n=\dfrac{3\pm\sqrt{29}}{2} \notin \mathbf N^*$，故 $5$ 不是这个数列的项。

自己试试：数列 $a_n=3n+1$ 中，$25$ 是第几项？

A。解 $3n+1=25$ 得 $n=8$，是正整数。选 B 的同学把 $25$ 当成下标代进去，算出的 $76$ 是 $a_{25}$：“第几项”问的是下标，要解方程，不是代入。

数列的增减：若所有存在的相邻项都满足后一项比前一项大（$a_{n+1}>a_n$），叫递增数列；每一项都比前一项小，叫递减数列；各项相等叫常数列；大小交替叫摆动数列（如 $a_n=(-1)^n$）。

用差判断增减：$a_n=\dfrac{n}{n+1}$，$a_{n+1}-a_n=\dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0$，故为递增数列。

3. 递推公式与三步破题思维链

🧩 典型例题：由前 n 项和 $S_n$ 求解数列通项公式

👀 信号

① 看到给出前 $n$ 项和 $S_n$ 却要求通项 $a_n$ → 想到作差。
② 求 $a_n$ → 想到先取 $n=1$ 得首项，再对 $n\ge2$ 写 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 并回代检查。

🔧 步骤

1. 基底求首项：代入 $n=1$，单独求出 $a_1 = S_1$；
2. 差分求通项：当 $n \ge 2$ 时，运用 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 展开化简；
3. 回验合并：检验 $n \ge 2$ 算出的化简式在 $n=1$ 处的值是否恰好等于 $a_1$。

🛡️ 防坑

若吻合方可合写；若不吻合（如 $S_n=2n^2+3$），必须写成分段形式，严禁直接照抄化简式！

例 2（递推规律与猜想）

$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$。写出前 5 项并猜想通项公式。

$a_2=2\times1+1=3$，$a_3=2\times3+1=7$，$a_4=2\times7+1=15$，$a_5=2\times15+1=31$。前 5 项：$1,\,3,\,7,\,15,\,31$。

观察各项加 1 为 $2,4,8,16,32$，猜想 $a_n=2^n-1$。要说明对所有 $n$ 均成立，需通过配凑法或数学归纳法证明。

自己试试：$a_1=2$，$a_{n+1}=a_n+3$，$a_4$ 是多少？

A。$a_2=5$，$a_3=8$，$a_4=11$：从 $a_1$ 到 $a_4$ 只推 $3$ 步。选 B 的同学多推了一步，那是 $a_5$；选 D 的同学算成了 $4\times3$。

4. 由前 $n$ 项和求通项

$S_n$ 比 $S_{n-1}$ 正好多加了一个 $a_n$，所以 $n\ge2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$。$n=1$ 时 $S_0$ 没有定义，只能单独使用 $a_1=S_1$。

把猜想变成严格结论：例 2 里，由 $a_{n+1}=2a_n+1$ 两边加 1 得 $a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，从而化归为等比数列证明（严谨证明参看 4.4 数学归纳法）。

例 3（由和求通项标准写法）

数列的前 $n$ 项和 $S_n=n^2+2n$，求通项公式。

$n=1$ 时：$a_1=S_1=1+2=3$。

$n\ge2$ 时：$a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+2n)-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1$。

检验：将 $n=1$ 代入 $2n+1$ 得 $3$，恰与 $a_1$ 相等，故可合写为 $a_n=2n+1$。这一步检验必不可少。

自己试试：$S_n=n^2$，$a_3$ 是多少？

A。$a_3=S_3-S_2=9-4=5$。选 B 的同学把 $S_3$（前三项的和）当成了 $a_3$（第三项本身）。

找最大项：分清局部与全局：若内部的第 $k$ 项是全局最大项，则必有 $a_k\ge a_{k-1}$ 且 $a_k\ge a_{k+1}$，但满足相邻比较不一定是全局最大。例如数列 $1,3,2,4,0,0,\dots$ 中，第 $2$ 项比左右邻项都大，却小于第 $4$ 项。要判定全局最大，须证明它不小于所有其他项；可以先证明单调或先增后减的结构，再比较候选项。

边界要单独检查：首项没有 $a_0$，只与存在的邻项 $a_2$ 作相邻比较；有限数列的末项也只与前一项比，只有一项时它就是最大项。端点的相邻比较同样只是必要条件。例如 $a_n=-n$ 递减，最大项是 $a_1=-1$；而 $a_n=n$ 一直增大，没有最大项。

5. 易错点对比辨析

⚠️ 误区一：Sn求通项遗漏n=1检验

❌ 错误：$S_n=2n^2+3$ 直接得出 $a_n = 4n-2$

✅ 正确：$a_1=S_1=5$；$n\ge2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=4n-2$。将 $n=1$ 代入 $4n-2$ 得 $2\ne5$，因此通项必须分段写。

⚠️ 误区二：数列最值误求连续顶点

❌ 错误：$a_n=-n^2+5n$ 误认为在 $n=2.5$ 取最大值 $6.25$

✅ 正确：下标必须是正整数！比较离顶点最近的 $a_2=6$ 与 $a_3=6$，最大值为 $6$。

⚠️ 误区三：项的值与位置下标混淆

❌ 错误：问 $a_n=3n+1$ 中 25 是第几项，代入 $n=25$ 算 76

✅ 正确：“第几项”问的是位置 $n$，应令 $3n+1=25$ 解方程得第 $8$ 项。

🔍 反例微图解：离散取整限制 vs Sn 分段首项孤立

左图：$a_n=-n^2+5n$ 顶点 $n=2.5$ 无定义，最大项在整数点 $n=2,3$；右图：$S_n=2n^2+3$ 的首项 $a_1=5$ 孤立脱离直线 $4n-2$。

数列是定义在正整数上的函数：看顺序、取整数下标、点是分开的；由 $S_n$ 求 $a_n$ 先单独算 $a_1$；递推要有初始条件；猜出的通项要验证或证明。

① 通项和递推：看点、看 $S_n$

先选“通项”或“递推”，拖滑块改参数，图上的点和下面的式子一起变。拖动金色圆点（或选中后按方向键）选第 $k$ 项，看 $a_k$ 和 $S_k$。通项模式里虚线是把 $n$ 当实数画出的曲线，只作参考：数列只有上面那些点。打开时两种模式给出的是同一个数列 $1,3,5,\dots$。

$n^2$ 的系数

$n$ 的系数

常数项

项数 $N$

② 进阶：由 $S_n$ 求 $a_n$，第 1 项合不合得上

设 $S_n=pn^2+qn+c$。实心点是真正的 $a_n$（$a_1=S_1$，$n\ge2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}$）；空心圈是把 $n\ge2$ 的式子 $2pn+q-p$ 硬代 $n=1,2,\dots$ 得到的值。先取 $p=2,q=0,c=0$，再把 $c$ 调成 $3$（就是 $S_n=2n^2+3$），看第 1 个点。

$p$

$q$

$c$

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. 数列 $a_n=\dfrac{n}{n+1}$，第 4 项是？

A。代 $n=4$：$a_4=\dfrac{4}{4+1}=\dfrac45$。选 B 是分子分母写反了；选 C 是代成了 $n=3$。

2. $a_1=3$，$a_{n+1}=2a_n-1$，$a_3$ 是？

A。$a_2=2\times3-1=5$，$a_3=2\times5-1=9$。选 B 只推了一步（那是 $a_2$），选 C 推了三步（那是 $a_4$）。

易错

3. 数列的前 $n$ 项和 $S_n=n^2+1$，它的通项公式是？

C。$a_n=S_n-S_{n-1}$ 只对 $n\ge2$ 成立，得 $2n-1$；$a_1$ 要单独算：$a_1=S_1=2$。可 $2n-1$ 在 $n=1$ 时是 $1$，对不上，只能分段写。

选 A 的同学漏了检验 $n=1$；选 B 是把和 $S_n$ 当成了第 $n$ 项。可以在“动手”②里把 $p=1,q=0,c=1$ 调出来看第 1 个点。

4. 数列 $a_n=-n^2+7n$ 的最大项是？

B。把 $n$ 当实数，顶点在 $n=3.5$，值 $\dfrac{49}{4}$；可下标只能取正整数，$3.5$ 不是一项。看离它最近的两个整数：$a_3=-9+21=12$，$a_4=-16+28=12$，最大项是 $12$（第 3、4 项）。选 A 的同学把离散的点当成了连续的抛物线。

5. 一个数列的前三项是 $2,\,4,\,8$。下面哪句话对？

B。$a_n=n^2-n+2$ 也符合：$n=1,2,3$ 时是 $2,4,8$，$n=4$ 时是 $14$。只给前几项，通项不唯一，第 4 项也就定不下来，A 错。

C 错：数列讲顺序，$2,4,8$ 和 $8,4,2$ 的第 1 项就不同，是两个数列。

挑战

6. $a_1=2$，$a_{n+1}=1-\dfrac1{a_n}$。$a_{2026}$ 是？

A。先推几项：$a_2=1-\dfrac12=\dfrac12$，$a_3=1-2=-1$，$a_4=1-(-1)=2=a_1$。从这里起又按 $2,\dfrac12,-1$ 重复，每 $3$ 项一轮。$2026=3\times675+1$，所以 $a_{2026}=a_1=2$。

初始条件换了，结果也跟着换：$a_1=3$ 时数列是 $3,\dfrac23,-\dfrac12,3,\dots$，$a_{2026}=3$。光有递推式，定不出答案。

本节高考真题

共 26 道，含 9 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 3.1 列代数式表示数量关系初中按序号规律用含 $n$ 的代数式表示第 $n$ 个图形或数的探究题，在高中正式上升为数列的通项公式 $a_n=f(n)$。

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

递推数列数列综合数列的和数列的性质

打开一试专题地图，还有 3 个专题也以这一节为先修

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