数列的和 · 学习路线

先写 $a_1=S_1$，再在 $n\ge 2$ 的范围计算 $S_n-S_{n-1}$。

$a_1=S_1=2+5+4=11$。当 $n\ge 2$ 时，$n-1\ge 1$，题给表达式可用于两个前缀，故 $a_n=[2n^2+5n+4]-[2(n-1{)}^2+5(n-1)+4]=4n+3$。验证：${\sum }_{k=1}^n(4k+3)=2n^2+5n$，而实际首项比该统一公式在 $k=1$ 的值 $7$ 大 $4$，故实际前缀为 $2n^2+5n+4$，包括 $n=1$。前缀值唯一确定每项，因此没有其他通项。

作差得到的公式先写适用范围，能否覆盖首项要另验。

比较两题：相邻差里的常数抵消，首项却会变化。检验 $n=1$ 能否并入。

直接得到 $a_1=S_1=7$。对 $n\ge 2$，相邻差为 $a_n=2[n^2-(n-1{)}^2]+5=4n+3$。把 $n=1$ 代入这个候选式也得 $7$，所以可统一为 $a_n=4n+3$，$n\ge 1$。反向求和得 $4\cdot n(n+1)/2+3n=2n^2+5n$，对所有正整数都与条件一致。

统一通项需要首项验证通过；不能因为式子简洁便自动推广指标范围。

先只看 $n=1$ 推出必要条件，再说明该条件确实保证所有指标成立。

无论 $c$ 为何，$a_1=S_1=7+c$；$n\ge 2$ 时相邻差总为 $4n+3$。若所有正整数指标都满足同一公式，特别在 $n=1$ 时必须有 $7+c=7$，故 $c=0$。反之，取 $c=0$，前一题已逐项得到首项为 $7$，后续为 $4n+3$；求和也得 $S_n=2n^2+5n$，所以条件充分。任意实数 $c$ 都能定义一个合法实数数列，只是 $c\ne 0$ 时首项必须单列；这不是数列不存在。

前缀表达式加常数只改变首项；“可定义数列”和“可统一通项”是两个判断。

把 $T_n-T_{n-1}$ 左边也展开，看看相消后末项是否带系数。

$T_1=1\cdot a_1=1(1+2)+6=9$，所以 $a_1=9$。对 $n\ge 2$，两相邻加权前缀相减得到 $n{a}_n=T_n-T_{n-1}=(n^2+2n+6)-[(n-1{)}^2+2(n-1)+6]=2n+1$。由于 $n>0$，可除以 $n$，得 $a_n=2+1/n$，故 $a_3=7/3$。直接核对：$T_2=14$、$T_3=21$，所以 $3a_3=7$。完整回代：若全体指标先取 $k{a}_k=2k+1$，其和为 $n(n+2)$；实际首项由 $3$ 增至 $9$，加回 $6$ 后正好是 $n(n+2)+6$。此回代对 $n=1$ 也成立。

加权前缀仍用相邻差，但差分先得到加权末项；除去权重后，再与首项拼接。