选择性必修第二册 · 第 4 章数列

4.3 等比数列

每一项都是前一项乘同一个数。这一节讲它的通项、等比中项和前 $n$ 项和，以及用公式前要查的几件事。先从拉面师傅扣面开始。

拉面师傅做手工拉面：一团面拉开再对折叫“一扣”。拉第 $1$ 扣变成 $2$ 根，并拢对折拉第 $2$ 扣变成 $4$ 根，第 $3$ 扣变成 $8$ 根……每次根数都翻倍（乘 $2$）。先判断第 $5$ 扣的根数，作答后再用演示核对。

一共拉了 $5$ 扣，手里有几根面条？

1. 先认识几个词

要用到：数列、通项、$S_n$ 的记号（回看 4.1）；等差数列的研究思路，这里把“加 $d$”换成“乘 $q$”（回看 4.2）；整数指数幂的运算（回看 4.1 指数）和指数函数（回看 4.2 指数函数）。

课本用词：等比求和必须先分流：$q=1$ 时用 $S_n=na_1$，只有 $q\ne1$ 才能除以 $1-q$。

公比 $q$：等比数列里，后一项除以前一项得到的那个不变的常数，记作 $q$（$q\ne0$）。

例：$3,6,12,24$ 的公比是 $2$；$8,4,2,1$ 的公比是 $\dfrac12$；$1,-2,4,-8$ 的公比是 $-2$。

正负交替与摆动：公比是负数时，每乘一次负数符号就翻转一次，数列忽正忽负、上下摆动。

例：$1,-2,4,-8,16$：正、负、正、负、正，数列在横轴两侧摆动，不能直接谈单调递增或递减。

前 $n$ 项和 $S_n$：把第 $1$ 项到第 $n$ 项加起来，$S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$。

例：数列 $1,2,4,8,\dots$ 里，$S_3=1+2+4=7$，$S_4=7+8=15$。注意 $S_4$ 是四个数的总和，不是第 $4$ 项。

一次投入和逐期投入：一次投入是期初一次性存入；逐期投入是每期（如每年）固定存一笔。

例：年利率 $5\%$ 复利。年初一次存 $2000$ 元，两年后是 $2000\times1.05^2=2205$ 元；每年年末存 $1000$ 元存两次，第二年末是 $1000\times1.05+1000=2050$ 元。

等比核心直觉：指数暴涨与摆动、错位相减对消、公比分流

中项辨析 等比中项的双解与符号

同号两数等比中项：$G^2=ab \implies G=\pm\sqrt{ab}$，通常有正负两个（如 $4$ 与 $25$ 的中项是 $\pm10$）。
具体数列限制：若在同号数列中（隔两步 $a_3=a_1q^2$），符号必与首项一致；首项正时舍负，首项负时舍正。
异号两数无中项：若 $ab<0$，实数范围内不存在等比中项。

机制对偶 等差 vs 等比对偶法则

步进法则：等差“每步加 $d$”$\longleftrightarrow$ 等比“每步乘 $q$”。
下标对称：等差“下标和等则项和等”$\longleftrightarrow$ 等比“下标和等则项积等”（$a_ma_n=a_pa_q$）。
求和机制：等差倒序相加对称配对 $\longleftrightarrow$ 等比错位相减抵消中段。

2. 定义与色彩语义主公式

一个数列从第 $2$ 项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数 $q$，它就是等比数列：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=q$。各项均非零（$a_1\ne0, q\ne0$）。

定义式：$\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \color{#0284c7}{q}\quad (a_1\ne0, q\ne0)$

通项公式：$a_n = a_1 \color{#0284c7}{q}^{n-1} = a_m \color{#0284c7}{q}^{n-m}$（乘 $n-1$ 次公比）

前 $n$ 项和（公比分流）：$S_n = \begin{cases} \color{#0284c7}{\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}} = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q}, & q \ne 1 \\ \color{#16a34a}{n a_1}, & q = 1 \end{cases}$

例 1（看一遍怎么写）

等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=6$，$a_5=48$。求 $q$、$a_1$ 和通项。

从 $a_2$ 到 $a_5$ 乘了 $3$ 次 $q$：$a_5=a_2q^3$，所以 $q^3=\dfrac{48}{6}=8 \implies q=2$。

$a_1=\dfrac{a_2}{q}=\dfrac62=3$，通项 $a_n=3\times2^{n-1}$。验算：$a_5=3\times2^4=48$，完全相符。

自己试试：等比数列首项 $a_1=2$，公比 $q=3$，$a_4$ 是？

A。$a_4=2\times3^{3}=54$：$2,6,18,54$。选 B 的同学用了 $q^4$，多乘了一次；指数是 $n-1$。选 D 是按等差 $2+3\times3$ 算了。

3. 等比中项与三步破题思维链

🧩 典型例题：含参数公比等比数列的前 n 项和讨论

👀 信号

① 看到固定公比、$q^n$ 或等比求和 → 想到先辨认连续项的比值。
② 要求和或遇到等差因子乘等比因子 → 想到区分 $q=1$ 与 $q\ne1$，再用通项或错位相减。

🔧 步骤

1. 判定公比分界：检查公比是否可能为 1；
2. 分支书写求和：
- 若 $q=1$，数列为常数列，$S_n = na_1$；
- 若 $q\ne1$，套用错位相减公式 $S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}$；
3. 核对指数项数：分子中的指数 $n$ 严格代表项数，切勿因末项指数误减 1。

🛡️ 防坑

公比为字母时漏掉 $q=1$ 分类会导致分母为 0 严重失分；数项数从 $q^0$ 到 $q^{n-1}$ 共 $n$ 项。

例 2（等比中项求值）

等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_5=16$，求 $a_3$。

$a_3$ 是 $a_1$ 与 $a_5$ 的等比中项：$a_3^2=a_1a_5=16 \implies a_3=\pm4$。

再由 $a_3=a_1q^2=q^2>0$ 可知，隔两步必同号，所以 $a_3=4$，负解 $-4$ 需舍去。

自己试试：$1$ 和 $9$ 的等比中项是？

B。$G^2=1\times9=9 \implies G=\pm3$：公比为 $3$ 或 $-3$ 均可。选 A 漏了负中项；选 C 是等差中项。

下标和与乘积性质：若 $m+n=p+k$，则 $a_m a_n = a_p a_k$。

由 $a_n=a_1q^{n-1}$，两项乘积为 $a_1^2q^{m+n-2}$，只取决于下标和。这里所有下标均为正整数。

4. 前 $n$ 项和：乘 $q$ 错位相减法

将 $S_n$ 整体乘以 $q$ 后错开一位相减，中间各项完全对消，直接得出求和公式：

\[\small\begin{aligned} S_n&=a_1+a_1q+\dots+a_1q^{n-1}\\ qS_n&=\phantom{a_1+{}}a_1q+\dots+a_1q^{n-1}+a_1q^n \end{aligned}\]

上式减下式得：$(1-q)S_n = a_1 - a_1q^n \implies S_n = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}\quad (q\ne1)$。

例 3

求 $1+2+4+\dots+2^9$ 的和。

首项 $a_1=1$，公比 $q=2$。项数：指数从 $0$ 到 $9$，共 $10$ 项。代入公式：

$S_{10}=\dfrac{1\times(1-2^{10})}{1-2}=\dfrac{1-1024}{-1}=1023$。

自己试试：$3+6+12+24+48=$？（用公式算，再加一遍核对）

A。$a_1=3, q=2, n=5$：$S_5=\dfrac{3(1-2^5)}{1-2}=3\times31=93$。选 B 的同学项数数成了 $6$；选 C 算的是下一项 $96$。

项数计数技巧：从 $a_1 q^k$ 到 $a_1 q^m$，若 $0\le k\le m$ 为整数，逐一列出相邻指数，则总项数为 $m-k+1$ 项。

5. 三大翻车现场红绿对比卡

⚠️ 误区一：求和遗漏 q=1 分类

❌ 错误：公比为字母时直接除以 $1-q$

✅ 正确：当 $q=1$ 时分母为 0！必须分流：$q=1 \implies S_n=na_1$。

⚠️ 误区二：等比中项漏掉负根

❌ 错误：问 $4$ 与 $25$ 的等比中项只答 $10$

✅ 正确：$G^2=ab \implies G=\pm\sqrt{ab}$，双解 $\pm10$ 均满足定义！

⚠️ 误区三：项数指数混淆（数漏首项）

❌ 错误：$2^0+2^1+\dots+2^9$ 误代入 $n=9$ 项

✅ 正确：从 $0$ 次幂到 $9$ 次幂共有 $9-0+1=10$ 项，公式指数为 $10$！

🔍 反例微图解：中项双解交错 vs 指数项数偏差

左图：中项 $G=\pm3$ 对应公比 $q=3$（全正）与 $q=-3$（摆动）；右图：末项 $2^9$ 实为第 $10$ 项（包含 $2^0=1$）。

先确认是等比数列（$q\ne0$、各项非零），求和先看 $q$ 是不是 $1$，实际问题先画时间线数每笔钱存了几期。

6. 从例题到考题：先求通项，再选求和方法

第 4 小节里 $S_n$ 乘 $q$ 错开一位相减，中间项就消掉了。系数不全是 $1$ 时呢？看 $1\cdot3+3\cdot9+5\cdot27$，乘 $3$ 后错开一位相减，系数之差都是 $2$，中间又成了等比数列，这时每项是“等差 $\times$ 等比”。再看 $\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{3\cdot4}$，每项能拆成 $1-\dfrac12$、$\dfrac12-\dfrac13$、$\dfrac13-\dfrac14$，相加时中间抵消，得 $\dfrac34$。这种拆法叫裂项。

桥接例题

数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $2S_n=3a_n-3$。(1) 求 $a_n$；(2) 设 $b_n=(2n-1)a_n$，求 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$；(3) 设 $c_n=\dfrac{1}{\log_3a_n\cdot\log_3a_{n+1}}$，求 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $R_n$。

卡在哪里：条件里 $S_n$ 和 $a_n$ 混在一起，看不出是什么数列；后两问的通项也不是等差或等比，公式不能直接用。

看到什么信号：$S_n$ 与 $a_n$ 的关系式，想 $a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge2$）。(2) 的通项是等差乘等比；(3) 的分母是两个相邻整数之积。

第一步怎么做：令 $n=1$ 求 $a_1$，再把 $n$ 换成 $n-1$ 写出另一式，两式相减。

完整解答：(1) $n=1$ 时 $2a_1=3a_1-3$，$a_1=3$。$n\ge2$ 时 $2S_{n-1}=3a_{n-1}-3$，相减得 $2a_n=3a_n-3a_{n-1}$，即 $a_n=3a_{n-1}$。所以 $\{a_n\}$ 是首项 $3$、公比 $3$ 的等比数列，$a_n=3^n$。

\[\small\begin{aligned} T_n&=1\cdot3+3\cdot3^2+\dots+(2n-1)3^n\\ 3T_n&=1\cdot3^2+\dots+(2n-3)3^n\\ &\quad+(2n-1)3^{n+1} \end{aligned}\]

(2) 上式减下式：$-2T_n=3+2(3^2+\dots+3^n)-(2n-1)3^{n+1}$。括号内求和得 $\dfrac{3^{n+1}-9}{2}$，整理得 $T_n=(n-1)3^{n+1}+3$。核对：$T_2=3+27=30$，公式给出 $27+3=30$。

(3) $\log_3a_n=n$，所以 $c_n=\dfrac1{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$。相加中间抵消，$R_n=1-\dfrac1{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$。

先看通项长什么样：等差 $\times$ 等比，乘公比错开一位相减；分母是两个因式之积且能拆成两项之差，裂项。

只写关键一步：数列的前 $n$ 项和满足 $S_n=3a_n-2$。$n\ge2$ 时，$a_n$ 与 $a_{n-1}$ 的关系是？

只写关键一步：求 $\dfrac1{1\cdot3}+\dfrac1{2\cdot4}+\dots+\dfrac1{n(n+2)}$，第一步最合适的是？

再深一点（可以先跳过）

等比数列公比 $q<0$ 时，为什么不能把各项直接放到负底数的实数指数函数 $q^x$ 上？$q>0$ 中的 $q=1$ 又应怎样单独理解？

展开思路与核对

与指数函数的关系：当 $q>0$ 时，点 $(n, a_n)$ 位于曲线 $y=\frac{a_1}{q}\cdot q^x$ 上。当 $q<0$ 时，不能直接把负底数的 $q^x$ 当作全体实数上的指数函数；数列仍只取整数项。

当 $q=1$ 时数列为常数列，对应水平直线，不属于底数不等于 $1$ 的标准指数函数。$q<0$ 时整数次幂仍有定义，但不能按同一规则定义所有实数次幂。

① 拖 $a_1$、$q$：看各项和前 $k$ 项和一起变

圆点是各项 $a_k$，柱子是前 $k$ 项和 $S_k$。拖底下的竖线（或选中后按方向键）选一个 $k$。把 $q$ 拖到负数、拖到 $1$、拖到 $0$ 各看一次；纵轴会自动缩放。

$a_1$

$q$

项数

② 进阶：逐期投入，每笔钱存了几期

每年存 $1000$ 元，年利率 $r$，按复利。柱子是第 $j$ 笔钱到第 $N$ 年末变成多少：浅色是本金，深色是利息。点一根柱子（或用方向键）看它存了几期。切换“年末存 / 年初存”，看时点不同差多少；下面还和“第 $0$ 年一次存 $1000N$”比一比。

$r$

年数 $N$

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. 等比数列 $a_1=4$，$q=\dfrac12$，$a_5$ 是？

A。$a_5=4\times\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac4{16}=\dfrac14$：$4,2,1,\dfrac12,\dfrac14$。选 B 用了 $q^5$，指数应是 $n-1=4$。

2. 等比数列 $a_1=1$，$q=3$，前 $4$ 项和 $S_4$ 是？

A。$S_4=\dfrac{1-3^4}{1-3}=\dfrac{-80}{-2}=40$，核对：$1+3+9+27=40$。选 B 是第 $4$ 项不是和；选 C 忘了除以 $1-q$；选 D 是 $S_5$。

易错

3. 下面哪一个是等比数列？

C，公比 $-1$。A、B 里有 $0$：等比数列每一项都不能是 $0$，公比也不能是 $0$，否则“后项除以前项”会出现 $\dfrac00$。D 是等差数列，$\dfrac21\ne\dfrac32$。

C 正负交替，也是等比数列：公比可以是负数，只是不能是 $0$。

4. 等比数列首项是 $3$，公比是 $q$（$q$ 是一个不为 $0$ 的常数，没说具体是多少）。前 $n$ 项和 $S_n$ 是？

B。公式是两边除以 $1-q$ 得来的，$q=1$ 时分母是 $0$，A 没法用：比如数列 $3,3,3$，$S_3=9$，A 却给出 $\dfrac00$。不知道 $q$ 是多少，就要分两种情况写。C 只在 $q=1$ 时对。

5. 数列 $a_n=3\times(-2)^{n-1}$。下面说法对的是？

C。写出来：$3,-6,12,-24,48,\dots$，$-6<3$ 但 $12>-6$，忽上忽下。$|a_n|$ 确实越来越大，但 $a_n$ 本身不单调。A、B 都是把它当成正底数的指数函数在想；公比 $-2$ 不是 $0$，各项非零，所以它是等比数列，D 错。在“动手”①里把 $q$ 拖到 $-2$ 看看。

挑战

6. 年利率 $4\%$，按复利。小明每年年初存 $1000$ 元，连存 $3$ 年，到第 $3$ 年年末一共多少元（保留到元）？

B。先画时间线：第一笔在第 $1$ 年初存，到第 $3$ 年末存了 $3$ 年；第二笔 $2$ 年；第三笔 $1$ 年。

合计 $1000\times1.04+1000\times1.04^2+1000\times1.04^3$：首项 $1040$，公比 $1.04$，$3$ 项，$S_3=\dfrac{1040(1.04^3-1)}{0.04}=3246.464$，约 $3246$ 元。

A（$3121.6$）是按年末存算的，少算了一年利息；C（$3374.6$）是第 $0$ 年一次存 $3000$ 元的结果，一次投入和逐期投入混了；D（$3120$）是按单利、年末存算的。

本节高考真题

共 59 道，含 26 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 16.1 幂的运算等比数列通项公式 $a_n=a_1q^{n-1}$ 与下标和性质 $a_ma_n=a_pa_q\ (m+n=p+q)$，直接建立在初中同底数幂乘法法则 $q^{m-1}\cdot q^{n-1}=q^{m+n-2}$ 之上。

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

等比数列与等差数列递推数列数列综合数列的和

打开一试专题地图，还有 3 个专题也以这一节为先修

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