选择性必修第二册 · 第 4 章数列

4.2 等差数列

每一项都比前一项多同一个数，这样的数列最简单，也最常用。这一节讲它的第 $n$ 项怎么写、前 $n$ 项怎么加，以及加出来的和什么时候最大。

一个小礼堂，第 $1$ 排有 $20$ 个座位，往后每一排都比前一排多 $2$ 个座位。先判断第 $6$ 排的座位数，作答后再用演示核对间隔数。

第 $6$ 排有几个座位？

1. 先认识几个词

要用到：4.1 的数列、项、通项公式、前 $n$ 项和 $S_n$（回看 4.1）；一次函数 $y=kx+b$ 和二次函数的顶点（函数 3.1、二次函数 2.3）。

课本用词：等差公差可以是 0；求和最值时下标只能取题目允许的正整数，连续函数顶点不能直接当作数列项。

相邻两项的差：后一项减前一项，$a_{n+1}-a_n$。

例：$3,7,11,15$ 的相邻差是 $4,4,4$，都一样；$1,2,4,7$ 的相邻差是 $1,2,3$，不一样。

公差 $d$：相邻差每一处都等于同一个常数时，这个常数叫公差，记作 $d$。它可以是正数、负数，也可以是 $0$。

例：$3,7,11,15,\dots$ 的 $d=4$；$10,7,4,1,\dots$ 的 $d=-3$；$5,5,5,\dots$ 的 $d=0$。

前 $n$ 项和 $S_n$：从第 $1$ 项加到第 $n$ 项，$S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$。

例：数列 $2,5,8,11,\dots$，$S_1=2$，$S_3=2+5+8=15$。

一次函数的斜率与公差：$y=kx+b$ 里，$x$ 每加 $1$，$y$ 就加 $k$。等差数列的公差 $d$ 正好对应直线的斜率。

例：$a_n=3n-2$，点 $(n, a_n)$ 全部落在斜率为 $3$ 的直线上，但自变量只取正整数。

等差核心特征：斜率离散线、倒序配对与二次求和

中项性质 等差中项与对称求和

等差中项：$a, A, b$ 成等差 $\iff 2A=a+b \iff A=\dfrac{a+b}{2}$。
下标和性质：若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。
奇数项求和：$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$（首末和换为中间项的 2 倍）。

公式选用 两套求和公式与最值判定

已知首末项：用 $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$，梯形平均算法最快捷。
已知首项与公差：用 $S_n=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$，化简后无常数项。
求 $S_n$ 最值：当 $a_1>0, d<0$ 时，令 $a_n\ge0$ 找正项分界点即为最大和。

2. 定义与色彩语义主公式

一个数列，从第 $2$ 项起，每一项减它的前一项都等于同一个常数 $d$，就叫等差数列：

定义式：$a_{n+1}-a_n = \color{#0284c7}{d}\quad (\forall n \in \mathbf{N}^*)$

通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)\color{#0284c7}{d} = \color{#0284c7}{d}n + (a_1 - \color{#0284c7}{d})$（斜率为 $d$ 的离散直线）

前 $n$ 项和：$S_n = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}\color{#0284c7}{d} = \color{#16a34a}{\dfrac{d}{2}}n^2 + \color{#d97706}{\left(a_1-\dfrac{d}{2}\right)}n$

例 1（看一遍怎么写）

等差数列中 $a_3=7$，$a_7=19$，求通项公式和 $a_{20}$。

从第 $3$ 项到第 $7$ 项走 $4$ 步：$a_7-a_3=4d$，即 $12=4d \implies d=3$。

再往回走 $2$ 步：$a_1=a_3-2d=7-6=1$。

所以 $a_n=1+3(n-1)=3n-2$，$a_{20}=3\times20-2=58$。

自己试试：等差数列 $a_1=2$，$d=3$，$a_{20}$ 是？

A。$a_{20}=2+(20-1)\times3=2+57=59$。选 B 的同学用了 $20\times3$：从第 $1$ 项到第 $20$ 项只走 $19$ 步。

通项是 $pn+q$ 的形式：一定是等差数列，公差为 $p$；若 $p=0$ 则为常数列。

相邻项差为 $[p(n+1)+q]-(pn+q)=p$；反过来由 $a_n=a_1+(n-1)d$ 也可整理成一次式，$d=0$ 时为常数列。

3. 等差中项与三步破题思维链

🧩 典型例题：首正负公差数列的前 n 项和最大值求解

👀 信号

① 看到等差数列的首项、公差或前 $n$ 项和 → 想到先用通项或 $S_n$ 表示目标。
② 问和的最大值或项的范围 → 想到看项的正负变化，或比较相邻项和锁定取值范围。

🔧 步骤

1. 找正项分界：解不等式 $a_n = a_1 + (n-1)d \ge 0$，求出非负项的最大下标整数 $k$；
2. 确定最值项：此时前 $k$ 项均为正或零，加到第 $k$ 项和达到最大；
3. 代入求和公式：代入 $S_k = ka_1 + \frac{k(k-1)}{2}d$ 计算极值（若 $a_k=0$，则 $S_{k-1}=S_k$ 均为最大）。

🛡️ 防坑

切忌盲目套用二次函数实数对称轴 $-\frac{B}{2A}$ 得出非整数结论；下标必须为整数。

例 2（等差中项与性质运用）

(1) $3$ 与 $11$ 的等差中项：$A=\dfrac{3+11}{2}=7$。检验：$3,7,11$ 相邻差均为 $4$。

(2) 等差数列中 $a_2+a_8=10$，求 $a_5$。由 $2+8=5+5$ 得 $a_2+a_8=2a_5$，故 $a_5=5$。

自己试试：$-4$ 与 $10$ 的等差中项是？

A。$\dfrac{-4+10}{2}=3$，检验 $-4,3,10$ 的相邻差都是 $7$。选 B 的同学算的是 $\dfrac{10-(-4)}{2}$，那是公差，不是中项。

4. 前 $n$ 项和：倒序相加推导

将数列正着写一遍、倒着写一遍，上下对齐相加，每一列之和恒为 $a_1+a_n$，共 $n$ 列，即 $2S_n=n(a_1+a_n)$。

例 3

等差数列 $a_1=2$，$d=3$，求 $S_{10}$。

用公式二：$S_{10}=10\times2+\dfrac{10\times9}{2}\times3=20+135=155$。

用公式一验算：$a_{10}=2+9\times3=29$，$S_{10}=\dfrac{10\times(2+29)}{2}=155$。结果完全一致。

自己试试：$1+3+5+\dots+19$ 等于？

A。先数项数：$19=1+(n-1)\times2 \implies n=10$。$S_{10}=\dfrac{10\times(1+19)}{2}=100$。选 B 是忘了除以 $2$；选 C 是把项数当成了 $19$。

前 $n$ 项和是 $An^2+Bn$ 的形式（无常数项）：数列必为等差数列，公差 $d=2A$。若含有非零常数项，则须单独计算首项，再检查它与后续通项是否衔接。

核查：$a_1=S_1=A+B$；$n\ge2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=2An+B-A$，在 $n=1$ 处也给出 $A+B$，故首项接得上且公差为 $2A$。若和式另有常数项，须另查首项是否衔接。

5. 三大翻车现场红绿对比卡

⚠️ 误区一：步数算错（n 误代为 n-1）

❌ 错误：求第 20 项直接算 $a_{20} = a_1 + 20d$

✅ 正确：从第 1 项走到第 20 项共跨越 $20-1=19$ 步公差，应算 $a_1 + 19d$！

⚠️ 误区二：求和最值盲信实数对称轴

❌ 错误：$S_n=-\frac{3}{2}n^2+\frac{23}{2}n$ 误认最大值在 $n=3.83$

✅ 正确：项数只能是正整数！比较两边整数 $S_3=21, S_4=22$，最大值在 $n=4$ 取得。

⚠️ 误区三：断言求和必为二次函数

❌ 错误：认为所有等差数列的 $S_n$ 都是关于 $n$ 的二次式

✅ 正确：当公差 $d=0$ 时，数列为常数列 $c$，$S_n=cn$ 不是二次式；$c\ne0$ 时对应正比例函数，$c=0$ 时恒为 $0$。

🔍 反例微图解：步数跨度 n-1 vs Sn 整数比较峰值

左图：从 $a_1$ 到 $a_n$ 只有 $n-1$ 个间隔（植树原理）；右图：实数顶点 $n=3.83$ 不存在，必须在整数 $n=4$ 处截取最大值 $22$。

实数顶点只是“找最值的地方大概在哪”：真正的答案要在它两边的正整数（以及范围端点）里比较出来。

再深一点（可以先跳过）

对称轴恰为半整数：当 $d<0$、实数对称轴恰为 $n=4.5$，且 $n=4$ 与 $n=5$ 都在允许的下标范围内时，$S_4=S_5$ 并列最大；若 $d>0$，在同样的对称轴与下标条件下则并列最小。$4$ 和 $5$ 已是正整数，有限项数列还要检查是否包含这两个下标。此时 $a_5=S_5-S_4=0$ 只说明两和相等，最大还是最小要看 $d$ 的正负。$d=0$ 时 $S_n$ 不是二次函数，不适用顶点判定。

① 拖首项和公差：点落在一条直线上

画的是前 $8$ 项 $(n,a_n)$。拖第 $1$ 个点改 $a_1$，拖第 $2$ 个点改 $a_2$（也就改了 $d=a_2-a_1$）；选中圆点后按上下方向键也行。虚线是 $y=dx+(a_1-d)$。把 $d$ 调成 $0$ 看看。

$a_1$

$d$

求和到第 $n$ 项

② 进阶：$S_n$ 什么时候最大（最小）

实心点是 $S_1,S_2,\dots,S_{20}$；虚线是把 $n$ 当实数画出的抛物线。空心圈是实数顶点，金色点是真正取到最值的整数 $n$。拖圆点 $P$（或按左右方向键）读任意一个 $S_n$。

$a_1$

$d$

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. 等差数列中 $a_3=7$，$a_9=25$，$a_1$ 是？

A。第 $3$ 项到第 $9$ 项走 $6$ 步：$6d=25-7=18$，$d=3$；再往回走 $2$ 步：$a_1=7-2\times3=1$。选 C 的同学只往回走了 $1$ 步。

2. 等差数列中 $a_2+a_8=16$，$S_9$ 是？

A。$1+9=2+8$，所以 $a_1+a_9=a_2+a_8=16$，$S_9=\dfrac{9\times16}{2}=72$。不用求出 $a_1$ 和 $d$。选 B 是忘了除以 $2$。

易错

3. 数列 $5,5,5,5,\dots$（每一项都是 $5$）。下面说法对的是？

B。每个相邻差都是 $0$，同一个常数，符合定义，$d=0$ 完全可以。这时 $a_n=5$，点排成水平一行；“等差数列的通项是 $n$ 的一次函数、图象斜着”只在 $d\ne0$ 时成立。在“动手”①把 $d$ 调到 $0$ 就能看到。

4. 数列的前 $n$ 项和 $S_n=n^2+1$。它是等差数列吗？

B。$a_1=S_1=2$。$n\ge2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=2n-1$，得 $a_2=3$，$a_3=5$，$a_4=7$。数列是 $2,3,5,7,\dots$：$a_2-a_1=1$，后面都是 $2$，不是每一处都一样，不是等差数列。

A 错在 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 只对 $n\ge2$ 成立，第 $1$ 项要单独用 $S_1$ 算；只看后面几项是 $2$ 就下结论，正是“凭几项”。

5. 等差数列 $a_1=13$，$d=-3$。$S_n$ 的最大值是？

B。$S_n=13n-\dfrac{3n(n-1)}{2}=-\dfrac32n^2+\dfrac{29}{2}n$。当实数看，顶点 $n=\dfrac{29}{6}\approx4.83$，那里的值是 $\dfrac{841}{24}\approx35.04$，但没有第 $4.83$ 项，A 取不到。

比较两边的整数：$S_4=52-18=34$，$S_5=65-30=35$，最大值是 $S_5=35$。选 C 是把 $4.83$ 直接截成了 $4$。从项看：$13,10,7,4,1$ 都是正的，$a_6=-2$，加到第 $5$ 项最大。

挑战

6. 等差数列 $a_1=20$，$d=-2$，$S_n=54$。$n$ 是？

C。$S_n=20n-n(n-1)=21n-n^2=54$，即 $n^2-21n+54=0$，$(n-3)(n-18)=0$。检验：两个根都是正整数，都要。

$n=18$ 为什么也行：$a_4=14$，$a_{18}=-14$，从第 $4$ 项到第 $18$ 项正负抵消，和是 $0$，所以 $S_{18}=S_3=54$。只留一个的同学没把每个根都检验。

对比：若 $S_n=100$，$n^2-21n+100=0$ 的根是 $\dfrac{21\pm\sqrt{41}}{2}$，不是整数，这个和取不到。

本节高考真题

共 58 道，含 27 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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先修回顾 · 初中数学

学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：

初中 · 23.1 一次函数的概念等差数列通项公式 $a_n=dn+(a_1-d)$ 本质上是定义在正整数集上的一次函数（或常数函数），公差 $d$ 对应一次函数的斜率。

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

等比数列与等差数列递推数列数列综合数列的和

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