FR022 · 数列 / 有限和 · 互动实验
把竖条的和，
换成横层的和。
拖动参数，看阶梯矩形如何沿另一方向分解。遇到负项，就用有方向的宽与高计算面积。
搜索01 / 造一组数列
改用自定义数列
两列等长，0 至 12 项，每项绝对值不超过 1000；空白列表示 N = 0。用逗号或空格分隔。
允许 m = n + 1，表示空和；n = m 时只有一项。改变起点时，终点会自动调整到合法范围。
02 / 两个方向，同一有向总量
两图采用同一坐标比例。竖条允许向左，横层允许向下；重叠区域按每块的符号累加，不能只看涂色并集。
| k | aₖ | bₖ | Aₖ | aₖbₖ |
|---|
03 / 先预测，再核对
预测当前区间 Σ aₖbₖ 的数值。总量与各块面积在预测吻合后显示；参数改变会清空预测和读数。
- 直接求和
- 独立分部和
- 浮点残差
04 / 为什么可以换方向？
设 N ≥ 0，a₁,…,aN 与 b₁,…,bN 为任意有限实数列，A₀ = 0，Aₖ = Σⱼ₌₁ᵏ aⱼ。对整数 1 ≤ m ≤ n ≤ N：
Σₖ₌ₘⁿ aₖbₖ = Aₙbₙ − Aₘ₋₁bₘ + Σₖ₌ₘⁿ⁻¹ Aₖ(bₖ − bₖ₊₁)
由 aₖ = Aₖ − Aₖ₋₁，展开为 Σ Aₖbₖ − Σ Aₖ₋₁bₖ。将第二个和的下标改为 j = k − 1，它从 m − 1 到 n − 1；配对中间项，剩下末项 Aₙbₙ 与起点扣除项 −Aₘ₋₁bₘ。这就是离散的分部积分。
若改用 Bₘ₋₁ = 0、Bₖ = Σⱼ₌ₘᵏ aⱼ = Aₖ − Aₘ₋₁，则公式变为：
Σₖ₌ₘⁿ aₖbₖ = Bₙbₙ + Σₖ₌ₘⁿ⁻¹ Bₖ(bₖ − bₖ₊₁)
两种部分和不能混用。n = m 时差分和为空，公式退为 (Aₘ − Aₘ₋₁)bₘ = aₘbₘ。m = n + 1 时原和为 0，本实验直接返回空图与 0，不套用非空区间的边界公式，也不读取不存在的 b₀ 或 bₙ₊₁。
图解中令 P 表示当前选用的 A 或 B。左图第 k 块为 [Pₖ₋₁ → Pₖ] × [0 → bₖ]，有向面积 aₖbₖ。右图末矩形为 [0 → Pₙ] × [0 → bₙ]；横层为 [0 → Pₖ] × [bₖ₊₁ → bₖ]；全局约定还须减去 [0 → Aₘ₋₁] × [0 → bₘ]。一般矩形按 c(x₁ − x₀)(y₁ − y₀) 计贡献，c 为显示的系数；宽高都负时贡献为正。负项、零宽与零高都合法；不要求单调、非负或无重叠。
当 a 非负且 b 非负递减、m = 1 时，矩形较容易看作普通阶梯区域；超出这些条件就须保留方向。此处只讨论有限恒等式，不据此断言无穷级数收敛。