2023 年北京预赛

解答

有 $f(x)\le 2$，等号当且仅当 $\sin 2x=\sin \omega x=1$。第一式给出 $x=\pi /4+k\pi$，其中 $k\in \mathbb{Z}$。再代入第二式，等价于存在整数 $k,\ell$ 使

若 $\omega$ 为奇数，左边为奇数，不可能成立。若 $\omega$ 为偶数，则 $4\omega k$ 是8的倍数，故条件恰为 $\omega \equiv 2(\mathrm{mod}8)$；此时取 $k=0$ 就能实现等号。 所以要排除 $2,10,18,\dots ,2018$，共253个频率。其余每个频率都使所有实数输入严格小于2，故个数为 $\boxed{2023-253=1770}$。