三角函数的图象与性质 · 学习路线

令 $t=3x-\pi /4$，先换算 $t$ 的完整区间，再检查正弦在这个区间内的极值。

令 $t=3x-\pi /4$。因为系数 $3>0$，有 $t\in [0,\pi ]$，故 $\sin t$ 恰取遍 $[0,1]$。于是 $f(x)$ 恰取遍 $[-1,1]$。下界在 $x=\pi /12$ 或 $5\pi /12$ 取得，上界在 $3x-\pi /4=\pi /2$ 即 $x=\pi /4$ 取得。函数连续，且已取到两个端值，故取遍其间所有值。

输入端点先换成相位端点；值域还要看区间内部的极值。

重新换算相位区间。上一题的最大值位置在这一次的输入范围内吗？

令 $t=3x-\pi /4$，这次 $t\in [0,\pi /2)$。正弦在该区间连续、严格递增，取遍 $[0,1)$，故 $f$ 的值域为 $[-1,1)$。$x=\pi /12$ 使 $f=-1$；若 $f=1$，则该相位区间内必须有 $t=\pi /2$，即 $x=\pi /4$，而此点已被排除。任意小于 $1$ 且不小于 $-1$ 的目标值对应一个 $t\in [0,\pi /2)$，故没有漏值。

改变输入范围后，要重查极值能否取得；不能沿用上一题的闭值域。

先找原区间内正弦的最大、最小值，再把 $t-t^2$ 配方。端点相等意味着函数恒定吗？

原输入区间经过 $\pi /2$，所以 $t=\sin x$ 恰取遍 $[1/2,1]$。$h=t-t^2=1/4-(t-1/2{)}^2$，其中 $(t-1/2{)}^2$ 恰取遍 $[0,1/4]$，故值域为 $[0,1/4]$。在 $x=\pi /2$ 时 $t=1$、$h=0$；在 $x=\pi /6$ 或 $5\pi /6$ 时 $t=1/2$、$h=1/4$。连续性或换元后一一递减的关系保证两个端值之间全部可达。只比较输入端点漏掉了区间内部的最小值。

换元要保留准确像区间；输入的端点不一定给出输出的两个极值。

先列全部零点。必要性可让左端点落在一个零点；充分性可在开窗口内部放入一个完整的闭周期。

全部零点为 $z_k=\pi /12+k\pi /3$，相邻距离为 $T=\pi /3$，且 $T$ 是 $g$ 的周期。若 $0<L\le T$，取 $a=\pi /12$，则开窗口 $(a,a+L)$ 不含任何零点，不能取到 $0$，所以必须 $L>T$。反过来，若 $L>T$，对任意 $a$ 取 $b=a+(L-T)/2$，则 $a<b<b+T<a+L$。闭区间 $[b,b+T]$ 是一个完整周期：相位走过长度 $\pi$，其中必有一个整数倍 $j\pi$ 和一个 $\pi /2+k\pi$，故 $g$ 在其上分别取到 $0$ 与 $1$。连续性使中间所有值也可达，而 $g$ 全域不超出 $[0,1]$。于是每个开窗口的值域恰为 $[0,1]$，全部可行长度为 $(\pi /3,+\infty )$。

“任意开窗口都覆盖”需要排查最不利起点；长度恰为周期时，开放端点可能恰好漏值。