2013 年天津预赛 · 第 5 题

解答

曲线导数为 $y^{\prime }=\cos (x/2)$，没有竖直切线。两切线斜率乘积为 $-1$，且各自模不超过1，所以只能为 $+1,-1$。斜率1的切点为 $(4k\pi ,0)$，切线 $y=x-4k\pi$；斜率 $-1$ 的切点为 $((4\ell +2)\pi ,0)$，切线 $y=-x+(4\ell +2)\pi$，其中 $k,\ell \in \mathbb{Z}$。 交点为

故 $r=X/\pi$、$s=Y/\pi$ 必须为奇整数，且 $r-s$ 为4的倍数；反过来满足此条件的奇整数对也能解出整数 $k,\ell$。A、B、D的 $r-s$ 分别为0、4、8，合法；C的差为6，不可能。因此选 $\boxed{\mathrm{C}}$。