2017 年安徽预赛 · 第 7 题

解答

取 $x=1$，必须 $2\sin \theta >0$，故 $\theta \in (0,\pi )$。记 $s=\sin \theta >0,c=\cos \theta$。对 $0\le x<1$ 设 $t=x/(1-x)\ge 0$，除以正数 $(1-x{)}^2$，原式等价于

若 $c\le 0$，各非恒定项均非负，条件自动成立，对应 $\theta \in [\pi /2,\pi )$。若 $c>0$，顶点 $t=c/s>0$，要求最小值 $3-2c^2/s>0$。利用 $c^2=1-s^2$，这等价于

即 $s>1/2$。在第一象限中为 $\pi /6<\theta <\pi /2$。合并得 $\boxed{\theta \in (\pi /6,\pi )}$。