2009 年黑龙江预赛 · 第 14 题

解答

因为 $a_n,S_n$ 都为正数，题设等价于

当 $n=1$ 时，$(a_1+2{)}^2=8a_1$，即 $(a_1-2{)}^2=0$，故 $a_1=2$。 当 $n\ge 2$ 时，将(1)中相邻两式相减，得

整理为 $(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1}-4)=0$。 由于 $a_n+a_{n-1}>0$，所以 $a_n-a_{n-1}=4$。 因此 $\boxed{a_n=4n-2}$。