同一骨架 2018 年中科大少年班初试 第 11 题 · P009968
先找与递推齐次系数匹配的归一化因子，计算新数列的相邻增量。归一化后的增量一旦简化，等差判定、累加与连乘相消便可分别处理。
平移常数与指数因子要联动选择；变动的下标倍率则用下标幂归一化。增量为常数和增量为倒数平方不是同一结论，连乘还要核相消后的指标。
培玉 · 一试
2011 年湖南预赛 · 第 6 题
F2填空题等比数列与等差数列
已知数列 满足递推关系式 （），且 为等差数列，则 的取值是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
给定新数列要等差，便要求其相邻差与项号无关。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
用原递推直接计算相邻差，找出必须抵消的指数尾项。
解答
记 ，则
要让这个差不随 改变，比较 即得 。反之，当 时，相邻差恒为二分之一，所以确为等差数列。因此 。
复核
所有 分母均正且非零，比较相邻差无需原数列的初始值。结论对任何允许初始值都充分，不是只使前两项偶然等差。
方法总结
递推式中要构造等差数列，直接求所构造量的相邻差，再让含项号的部分消失；最后核全部项号而非只验初始几项。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
所构造数列要等差，直接求相邻差并让含下标的尾项消失；核充分性须对全部下标成立，不只验证前几项。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：递推换元化成线性
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