同一骨架 2014 年河南预赛 第 10 题 · P010124
圆与二次曲线联立后，把交点坐标当成同一四次方程的根；已知一对交点的信息控制其余两根的和或积，再把这些关系译回剩余弦或切线的方向。
抛物线参数化给四次式缺项，弦斜率由两参数的和决定；等轴双曲线用乘积坐标，直径端点决定圆心，剩余切线方向还要同时用总根积。
培玉 · 一试
2017 年河南预赛 · 第 10 题
F4解答题双曲线
设一圆和一等轴双曲线交于 四点，其中 和 是圆的直径的一对端点。
- (1)
求证：线段 的中点是双曲线的中心；
- (2)
求双曲线在点 和 处的切线和直线 的夹角的大小。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
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想想一道相关的题
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思路
韦达定理也适用于四次多项式：根和由三次项给出，根积由常数项给出。乘积曲线 的导数斜率为 。
想法从哪来：等轴双曲线的两条渐近线垂直，转动坐标后可写成横纵坐标乘积为常数，使每个点只剩一个非零参数。圆方程代入后成为四次式，四交点自然对应四根。直径条件首先告诉我们两端横坐标之和等于圆心横坐标两倍，而四根和也等于同一个量；一相减，另外两根必互为相反数，第一问便得证。第二问不必重求四个点，继续用四根积把两端参数乘积与剩下一根的平方联系起来；双曲线割线斜率和切线斜率都可用这些量表示，乘积立即成为负一。变换只用刚性转动，因而直角保持。
等轴双曲线可经刚体变换写成乘积式，圆与它联立得到四次方程；直径条件控制其中两根的和。
解答
经平移、旋转及必要反射，可设等轴双曲线为 ，。设圆为 ，代入 得 。四个交点不同，横坐标 也不同且非零。因 为直径端点，；四根之和亦为 ，故 ，进而纵坐标也相反，所以 。总根积给 。直径线的斜率为 ，而 处切线斜率为 ，两者乘积为负一。相反点处两切线平行，因此两条切线与直径线的夹角都为 。
复核
在乘积式双曲线上，相同横坐标只能对应同一点，故直径线不是竖直线；切线斜率也始终有限。四个不同交点保证四根与所有根积运算合法。刚体变换保持中点和欧氏夹角。
方法总结
圆与乘积式双曲线联立时，四根的和、积可以直接反映直径与切线方向。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
乘积式等轴双曲线与圆联立成四次式，直径控制两根和，剩余根和及总根积再决定中点与切线夹角。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：韦达定理：根的整体关系、建直角坐标系解几何题
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