2012 年中科大少年班初试 · 第 12 题

解答

（1）设 $P=(x,y)$，有 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=x^2+y^2-4$，而 $P{H}^2=x^2$，所以轨迹为 $\boxed{y^2-x^2=4}$。（2）写割线为 $y=k(x-2)$。非退化二次方程为 $(k^2-1)x^2-4k^{2}x+4k^2-4=0$。两交点纵坐标积为 $8k^2/(1-k^2)$，和为 $4k/(k^2-1)$，判别式为 $16(2k^2-1)$。要两个不同且都负，恰须 $1/\sqrt{2}<k<1$。其根和给中点 $R=(2k^2/(k^2-1),2k/(k^2-1))$，所以 $RQ$ 斜率为 $1+1/k-1/k^2$。导数 $(2-k)/k^3>0$，故所求完整范围为 $\boxed{(\sqrt{2}-1,1)}$。