2026 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 5 题

解答

由 $P=(1,0)$ 在双曲线上得 $a=1$，代入 $Q=(7,12)$ 得 $b^2=3$，右焦点 $F=(2,0)$。设两平行线的共同法向为 $\mathbf{n}$，由于两线不同且到 $F$ 等距，有 $2\mathbf{n}\cdot F=\mathbf{n}\cdot (P+Q)$。因此 $\mathbf{n}\cdot (-4,-12)=0$，可取法向 $(3,-1)$。两线是 $3x-y=3$ 与 $3x-y=9$，距离为 $\boxed{6/\sqrt{10}=3\sqrt{10}/5}$。