同一骨架 2010 年中科大少年班初试 第 2 题 · P010075
两题都先把允许变化的点或向量写成自由实参数，再把数量积或模平方展开为开口向上的二次式。配方中的平方项给出全局下界，令平方项为零还要返回原来那条直线或向量族，核实取等确实可达。
前题先由给定双曲线切点确定两条渐近线上的截点，所得下界保留该给定点的参数；后题的单位模和已知数量积直接决定二次式，还须容纳两个向量共线时最小模为零的情形。
培玉 · 一试
2023 年山东预赛
F2填空题双曲线
已知双曲线 上第一象限内一点 ，过 作 的切线 ，交 的渐近线于 两点（ 在第一象限）， 与 在同一渐近线上，则
的最小值为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：，
解析
提示
把给定点 的坐标保留为参数，先写出切线与两条渐近线的交点。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
再用一个实参数表示渐近线上的点 ，目标点积便是一元二次式，配方即可同时得到最小值和取等点。
解答
设给定点
双曲线在 处的切线为
两条渐近线分别为 和 。由
切线与它们的交点为
前者确在第一象限，符合点 的指定。
记 ，并将同一条渐近线上的任意点表示为
于是
平方项非负，且在 时为零。对应点
确在所需渐近线上，因此最小值可以达到。
故对于题目给定的点 ，所求最小值为
也可写成
复核
例如 满足双曲线方程且位于第一象限。这时 、，在 处点积为 ，与公式一致。取等点不是原点，也不与 重合。这里的最小值随已经给定的 而变；不能把同时改变 的另一个优化目标，代替对给定 的取最小值。
方法总结
带给定点的最值可以保留该点坐标作参数。先准确求交点，再把允许动点的整条直线参数化；配方后的非负平方给全局下界，实际参数值则完成可达性。
为什么评为 F2 · 本站估计（会透露解法方向）
用切线方程求两渐近线交点，将渐近线上的动点设为一个实参数，展开数量积并配方，核取等点合法；给定点坐标保留为系数，不误作全体点的另一优化。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：建直角坐标系解几何题、作差后证明非负
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