选择性必修第一册 · 第 3 章圆锥曲线的方程

3.2 双曲线

从声源定位的时间差到冷却塔的双曲面外形，双曲线以“距离差的绝对值恒定”刻画了两支无限延伸的对称曲线。正项定实轴、渐近线无限逼近、离心率大于 1 是洞悉双曲线本质的三把钥匙。

3D 舞台：平面截两叶圆锥得到双曲线，用丹德林双球看出 |PF₁ − PF₂| 为什么是定值 →

两个监测站相距 10 千米：左边是第一站，右边是第二站。声源到第一站比到第二站远 6 千米。

声源可能在哪里？先选一选。

1. 先认识几个词

要用到：两点间距离公式（回看 2.3）；椭圆的定义和 $a,b,c$（回看 3.1）。

课本用词：双曲线定义要求 $0<2a<2c$，并使用距离差的绝对值；$2a=2c$ 是两条射线的退化情形。

伴读直觉微图解：双曲线定义、渐近线特征矩形与离心率

焦点与焦距：两定点叫焦点 $F_1,F_2$，焦距为 $|F_1F_2|=2c$（焦距是 $2c$，不是 $c$；$c$ 为半焦距）。

例：$F_1(-5,0), F_2(5,0)$，焦距 $2c=10, c=5$。在双曲线中 $c > a > 0$。

实轴与虚轴：焦点所在轴上的两顶点连线叫实轴，长为 $2a$；垂直平分线上的线段叫虚轴，长为 $2b$。核心勾股式：$c^2 = a^2 + b^2$（$c$ 最大）。

例：$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$，实轴长 $2a=8$，虚轴长 $2b=6$，$c=\sqrt{16+9}=5$。

参数对比双曲线 $c^2=a^2+b^2$ ($c$ 最大) vs 椭圆 $a^2=b^2+c^2$ ($a$ 最大)

双曲线：焦点在两翼最外侧，$c > a$，勾股关系为 $c^2 = a^2 + b^2$（$c$ 是斜边！）。离心率 $e = \frac ca > 1$。

椭圆：长轴端点在最外侧，$a > c$，勾股关系为 $a^2 = b^2 + c^2$（$a$ 是斜边）。离心率 $e = \frac ca \in (0, 1)$。

切记：双曲线里允许 $a < b$ 或 $a = b$（等轴双曲线），判定焦点必须看正项而非分母大小！

临界辨析距离差绝对值 $2a$ 与焦距 $2c$ 的三态边界

三态蜕变：平面内到两焦点距离差的绝对值 $\big||PF_1|-|PF_2|\big| = 2a$：
① $0 < 2a < 2c$ ⟹ 轨迹为双曲线（两支）；
② $2a = 2c$ ⟹ 轨迹退化为两条射线；
③ $2a > 2c$ ⟹ 两边之差不可能大于第三边，无轨迹（空集）；
④ $2a = 0$ ⟹ 垂直平分线。

绝对值警示：无绝对值时仅表示双曲线的单单一支！

标准方程（正项定焦点）：$\dfrac{x^2}{\color{#2563eb}{a^2}} - \dfrac{y^2}{\color{#059669}{b^2}} = 1 \quad (\color{#dc2626}{c^2} = \color{#2563eb}{a^2} + \color{#059669}{b^2}) \quad\Longrightarrow\quad \text{渐近线：} y = \pm \dfrac{\color{#059669}{b}}{\color{#2563eb}{a}}x$
离心率与定义常数：$e = \dfrac{\color{#dc2626}{c}}{\color{#2563eb}{a}} = \sqrt{1 + \dfrac{\color{#059669}{b^2}}{\color{#2563eb}{a^2}}} > 1;\quad \big||PF_1| - |PF_2|\big| = \color{#2563eb}{2a} < \color{#dc2626}{2c}$

2. 定义：距离差的绝对值等于 $2a$

椭圆是“到两焦点距离的和一定”；把“和”换成“差”，就得到双曲线：

平面内到两个定点 $F_1,F_2$ 的距离之差的绝对值等于常数 $2a$，并且 $0<2a<|F_1F_2|=2c$，这样的点的轨迹叫双曲线。$$\big||PF_1|-|PF_2|\big|=2a$$

为什么要绝对值：$|PF_1|-|PF_2|=2a$ 说明 $P$ 离 $F_2$ 更近，只得到靠近 $F_2$ 的一支；$|PF_1|-|PF_2|=-2a$ 是靠近 $F_1$ 的另一支。加上绝对值，两支合起来才是整条双曲线。
为什么要 $2a<2c$：三角形两边之差小于第三边，$\big||PF_1|-|PF_2|\big|$ 最多等于 $2c$。等于 $2c$ 时只剩两条射线，大于 $2c$ 时一个点也没有。

例 1（两支都要想到）

双曲线 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ 上一点 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的距离是 $10$，求它到左焦点 $F_1$ 的距离。

$a=4$，$b=3$，$c=\sqrt{16+9}=5$。由定义 $\big||PF_1|-10\big|=2a=8$，所以 $|PF_1|=18$ 或 $|PF_1|=2$。

两个都要检查能不能取到：右支最小距为 $c-a=1 \le 10$（成立，$|PF_1|=18$）；左支到右焦点最小距为 $a+c=9 \le 10$（成立，$|PF_1|=2$）。

所以 $|PF_1|=18$ 或 $2$。若题目指明 $P$ 在右支上，则只取 $18$。

自己试试：$P$ 在双曲线 $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$ 的右支上，$|PF_1|=10$，那么 $|PF_2|=$？

A。$a=3$，$2a=6$。右支上的点离 $F_2$ 更近，$|PF_1|-|PF_2|=6$，所以 $|PF_2|=10-6=4$。选 B 是把差的方向弄反了（那是左支）；选 C 是没用上“右支”这个条件；选 D 是把 $c-a$ 当成了答案。

3. 标准方程：正项定焦点

焦点放在 $x$ 轴上：$F_1(-c,0)$、$F_2(c,0)$。移项整理得到标准方程：

焦点在 $x$ 轴：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\quad F(\pm c,0)$$ 焦点在 $y$ 轴：$$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1,\quad F(0,\pm c)$$ 其中 $a>0$，$b>0$，$c^2=a^2+b^2$。

怎么看焦点在哪个轴：哪一项是正的，焦点就在哪个轴上，正项下面的分母是 $a^2$。这和椭圆“看分母谁大”不同：双曲线里 $a$ 可以小于 $b$。

例 2

双曲线 $\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1$，求实轴长、虚轴长、焦距、焦点和顶点坐标。

正号在 $y^2$ 项上，焦点在 $y$ 轴上。$a^2=9, a=3$；$b^2=16, b=4$（允许 $a<b$）。

$c^2=a^2+b^2=9+16=25, c=5$。

实轴长 $2a=6$，虚轴长 $2b=8$，焦距 $2c=10$。焦点 $(0,\pm5)$；顶点 $(0,\pm3)$。

自己试试：方程 $-\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{7}=1$ 表示的双曲线，焦点坐标是？

A。改写成 $\dfrac{y^2}{7}-\dfrac{x^2}{9}=1$，正项是 $y^2$，焦点在 $y$ 轴上；$c^2=7+9=16$，$c=4$。选 B 是按“分母大的在哪个轴”判断，那是椭圆的做法；选 C、D 是用了椭圆的 $c^2=a^2-b^2$。

4. $a,b,c$ 的关系和离心率

双曲线里 $c^2=a^2+b^2$，$c$ 最大，像直角三角形的斜边。离心率

$$e=\frac ca=\sqrt{1+\Big(\frac ba\Big)^2}>1$$

$e$ 越大，$\dfrac ba$ 越大，双曲线开口越开阔。

例 3

双曲线的焦点在 $x$ 轴上，虚轴长 $6$，离心率 $e=\dfrac54$，求它的标准方程。

虚轴长 $2b=6, b=3$。由 $e=\dfrac ca=\dfrac54$ 得 $c=\dfrac54a$。代入 $c^2=a^2+b^2$ 得 $\dfrac{25}{16}a^2=a^2+9 \implies a^2=16$。

方程是 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$。

自己试试：双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{5}=1$ 的离心率是？

A。$a=2$，$c^2=4+5=9$，$c=3$，$e=\dfrac32$。双曲线的 $e$ 恒大于 $1$。

5. 渐近线

把标准方程右边的 $1$ 换成 $0$，因式分解就得到两条渐近线：

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线是 $y=\pm\dfrac bax$；$\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{b^2}=1$ 的渐近线是 $y=\pm\dfrac abx$。

例 4

$\dfrac{y^2}{9}-\dfrac{x^2}{16}=1$：令右端为 $0$，得 $y^2=\dfrac{9}{16}x^2$，渐近线 $y=\pm\dfrac34x$。

对比 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1$ 与 $\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{x^2}{9}=1$：令右端为 $0$，渐近线分别为 $y=\pm\dfrac32x$ 与 $y=\pm\dfrac23x$。同一组分母，正项换了，斜率倒置。

自己试试：已知双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{12} = 1$，则该双曲线的离心率 $e$ 和渐近线方程分别为：

A。正项是 $x^2$，$a=2, b=2\sqrt{3}, c=4 \implies e=2$。令右端为 $0 \implies y=\pm\sqrt3x$。

6. 三步破题思维链：双曲线标准解题动作

👀 第一眼破题信号

① 看到双曲线方程、焦点、渐近线或离心率 → 想到看平方项正负与分母大小，先判横轴或纵轴。
② 标准式已确定 → 想到用 $a,b,c$ 关系和渐近线结构处理参数。

🔧 第二步套公式/方法

① 参数关系：套用 $c^2 = a^2 + b^2$（$c$ 最大）与 $e = \frac ca > 1$；
② 渐近线求解：直接把标准方程右边的 $1$ 替换为 $0$，去分母分解得两条直线；
③ 若给出渐近线方程 $y = \pm \frac ba x$，可直接设双曲线系方程 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \lambda$（$\lambda \ne 0$）。

🛡️ 第三步必查防坑结论

① 焦点在 $y$ 轴时渐近线斜率为 $\pm\frac ab$ 绝非 $\pm\frac ba$！
② 题目若说明动点在“右支”或“左支”，脱绝对值时只能取单修正号，切勿保留双解。

共渐近线方程系：$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=\lambda$（$\lambda\ne0$）具有共同的渐近线 $y=\pm\dfrac bax$。

其中 $a,b>0$。$\lambda>0$ 时焦点在 $x$ 轴；$\lambda<0$ 时移项化标准式，焦点在 $y$ 轴，渐近线仍为同两条直线。$\lambda=0$ 退化成两条相交直线，不是双曲线。

7. 三大翻车现场与反例辨析

翻车现场 1：误套椭圆公式算 c²=a²-b²

❌ 对 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$，套椭圆公式算 $c^2=25-16=9 \Rightarrow c=3$

✔ 双曲线 $c$ 最大，正解为 $c^2=a^2+b^2=25+16=41 \Rightarrow c=\sqrt{41}$

翻车现场 2：y 轴焦点渐近线斜率倒错

❌ 对 $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$，死记硬套 $y=\pm\frac ba x = \pm\frac 43 x$

✔ 令右侧为 0 得 $\frac{y^2}{9}=\frac{x^2}{16}$，渐近线正解为 $y=\pm\frac 34 x$

翻车现场 3：漏掉绝对值把单支当全双曲

❌ 认为 $|PF_1|-|PF_2|=2a$ 表示整条双曲线

✔ 不加绝对值仅表示靠近 $F_2$ 的单单一支，全双曲线必须加绝对值

反例微图解：双支（加绝对值） vs 单支（无绝对值）对比

不加绝对值时，$|PF_1| - |PF_2| = 2a$ 仅能描绘靠近 $F_2$ 的右支；必须套上绝对值 $\big||PF_1| - |PF_2|\big| = 2a$ 才是完整的双支双曲线！

再深一点（可以先跳过）

焦点在 $x$ 轴的双曲线 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$（$a,b>0$），若两渐近线互相垂直，能反推出 $a=b$ 吗？离心率是多少？

展开思路与核对

等轴双曲线：$a=b$ 时方程是 $x^2-y^2=a^2$，渐近线 $y=\pm x$ 互相垂直，离心率 $e=\sqrt2$。

反向也成立：渐近线斜率乘积 $-(b/a)^2=-1$，由正数条件得 $a=b$，于是 $c^2=a^2+b^2=2a^2$，$e=c/a=\sqrt2$。

双曲线左右支与渐近线无限逼近微实验室

拖动动点 $P$（或按键盘方向键）沿双曲线移动。观察到两焦点的距离差绝对值 $||PF_1| - |PF_2|| = 2a$ 恒定不变；当点 $P$ 沿着曲线延伸向远处时，观察点 $P$ 到渐近线的垂直距离 $d \to 0$：

实半轴 $a$ = 3.0 虚半轴 $b$ = 4.0 动点 $P$ 延伸度 $t$ = 1.00

从易到难排好了。做完直接出解析，帮你在实战中巩固几何量计算与避坑直觉。

直接用

1. 双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 的焦点坐标与渐近线方程分别为：

A。① 正项是 $x^2$，焦点在 $x$ 轴上；$a^2 = 9 \implies a = 3$，$b^2 = 16 \implies b = 4$。

② 由 $c^2 = a^2 + b^2$ 得 $c^2 = 9 + 16 = 25 \implies c = 5$，故焦点坐标为 $(\pm 5, 0)$（选 D 错用成椭圆的 $c^2 = a^2 - b^2$）。

③ 令右端为 $0$：$\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 0 \implies \dfrac{y^2}{16} = \dfrac{x^2}{9} \implies y = \pm \dfrac{4}{3}x$（选 C 倒置了渐近线斜率）。

2. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 $y$ 轴上，焦距为 $8$，离心率 $e = \dfrac{4}{3}$，则该双曲线的标准方程为：

A。焦距 $2c = 8 \implies c = 4$。由离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{a} = \dfrac{4}{3}$ 得 $a = 3 \implies a^2 = 9$。

再由 $c^2 = a^2 + b^2$ 得 $b^2 = c^2 - a^2 = 16 - 9 = 7$。

因为焦点在 $y$ 轴上，正项为 $y^2$，故标准方程为 $\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{x^2}{7} = 1$。选 B 选错焦点轴，选 C 误把半焦距 $c$ 当作实半轴 $a$。

易错

3. 双曲线 $\dfrac{y^2}{4} - \dfrac{x^2}{25} = 1$ 的实轴长为：

A。专题卡核心红线：正项确定实轴，绝不能看分母大小！

方程中带正号的项是 $y^2$ 项，因此实半轴平方 $a^2 = 4 \implies a = 2$，虚半轴平方 $b^2 = 25 \implies b = 5$。

实轴长为 $2a = 2 \times 2 = 4$（切记问的是实轴长 $2a$，不是实半轴 $a$！选 C 漏乘了 2；选 B 或 D 受椭圆思维定势误把较大的分母 25 当作 $a^2$）。

4. 平面内两定点 $F_1(-3, 0), F_2(3, 0)$，动点 $P$ 满足条件 $|PF_1| - |PF_2| = 6$，则点 $P$ 的轨迹是：

C。计算两定点距离：焦距 $2c = |F_1F_2| = 3 - (-3) = 6$。

题目条件为 $|PF_1| - |PF_2| = 6 = |F_1F_2|$。根据平面几何两边之差小于第三边，任意点 $P$ 都有 $|PF_1| - |PF_2| \le |F_1F_2| = 6$。

当且仅当点 $P$ 落在以 $F_2$ 为端点且背离 $F_1$ 的射线（即 $x \ge 3, y = 0$）上时，才有 $|PF_1| - |PF_2| = (x + 3) - (x - 3) = 6$！

因此轨迹退化为一条射线！只有当常数严格满足 $0 < 2a < 2c$ 且有绝对值时，才是双曲线。

5. 与双曲线 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$ 具有公共渐近线，且经过点 $(4, 3\sqrt{2})$ 的双曲线，其离心率 $e$ 为：

B。设共渐近线的双曲线系方程为 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = \lambda \; (\lambda \ne 0)$。

代入点 $(4, 3\sqrt{2})$：$\dfrac{16}{16} - \dfrac{18}{9} = 1 - 2 = -1 \implies \lambda = -1$。

因此双曲线方程为 $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = -1$，即 $\dfrac{y^2}{9} - \dfrac{x^2}{16} = 1$。

注意！焦点轴发生了转变：正项变成了 $y^2$，因此焦点在 $y$ 轴上！此时实半轴 $a = 3$，虚半轴 $b = 4$，半焦距 $c = \sqrt{9 + 16} = 5$。

离心率 $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{3}$（若误以为焦点仍为 $x$ 轴算得 $e = \dfrac{5}{4}$ 则选 A 掉入陷阱！）。

挑战

6. 点 $P$ 是双曲线 $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$ 上一点，$F_1, F_2$ 分别为其左、右焦点。若 $\angle F_1PF_2 = 90^\circ$，则 $\triangle F_1PF_2$ 的面积为：

B。设 $r_1 = |PF_1|, r_2 = |PF_2|$。

① 根据双曲线定义：$|r_1 - r_2| = 2a = 2 \times 3 = 6$；两边平方得：$r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 = 36$。

② 在直角 $\triangle F_1PF_2$ 中，勾股定理：$r_1^2 + r_2^2 = |F_1F_2|^2 = (2c)^2 = 4c^2$。

已知 $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$，所以 $4c^2 = 100$。

③ 代入得：$100 - 2r_1r_2 = 36 \implies 2r_1r_2 = 64 \implies r_1r_2 = 32$。

直角三角形面积 $S = \dfrac{1}{2}r_1r_2 = \dfrac{1}{2} \times 32 = 16$（经典通式：双曲线焦点三角形面积 $S_{\triangle F_1PF_2} = \dfrac{b^2}{\tan(\theta/2)} = \dfrac{16}{\tan 45^\circ} = 16$！）。