3.3 抛物线

B，放在电波汇到一起的位置。这个位置叫“焦点”。这一节就来认识抛物线。

A。\(\sqrt{x^2+(y-1)^2}=|y+1|\)，平方得 \(x^2-2y+1=2y+1\)，即 \(x^2=4y\)。选 B 是把焦点到原点距离当成了 \(p\)；选 C 是轴搞反了；选 D 是开口方向反了。

B。一次项是 \(y\)，对称轴是 \(y\) 轴；系数 \(-8<0\)，开口向下。\(2p=8 \implies \dfrac p2=2\)，焦点 \((0,-2)\)。

选 A 是轴搞错了；选 C 是只除了 \(2\)；选 D 是直接抄了一次项系数。

A。\(2p=6 \implies p=3\)，准线 \(x=-\dfrac32\)。焦半径 \(|PF|=x_0+\dfrac32=5 \implies x_0=\dfrac72\)。选 B 是减了 \(p=3\)；选 C 是加反了；选 D 是把距离直接当横坐标。

A。一次项为 \(x\)，系数为 \(8 > 0\)，开口向右，焦点在 \(x\) 轴正半轴。

牢记核心法则：一次项系数除以 4 得到焦点坐标，\(\dfrac{8}{4} = 2\)，因此焦点为 \((2, 0)\)；除以 2 得到焦准距 \(p = 4\)，因此准线方程为 \(x = -2\)。

选 B 的同学除以了 2；选 C 搞错了坐标轴；选 D 则是直接抄了一次项系数。

B。直接用焦半径公式与准线转化！抛物线 \(x^2 = 4y\) 中 \(2p = 4 \implies p = 2\)，\(\dfrac{p}{2} = 1\)。准线方程为 \(y = -1\)。

由抛物线定义，曲线上点 \(P\) 到焦点的距离直接等于它到准线的垂直距离：\(|PF| = d(P, l) = y_0 - (-1) = 3 + 1 = 4\)。完全不需要求出 \(x_0\) 的具体数值！

B。易错陷阱：非标准方程先化标！绝不能直接把 \(2\) 除以 4！标准方程中平方项系数必须是 1：将 \(y = 2x^2\) 两边同除以 2，化为标准形式 \(x^2 = \dfrac{1}{2}y\)。

此时一次项是 \(y\)，系数为 \(\dfrac{1}{2}\)，开口向上，焦点在 \(y\) 轴上。再将一次项系数除以 4：\(\dfrac{1/2}{4} = \dfrac{1}{8}\)，焦点坐标为 \(\left(0, \dfrac{1}{8}\right)\)。选 A 是直接拿 2 除以 4；选 C 是搞错了焦点所在轴。

C。易错陷阱：定点在定直线上时的轨迹退化！抛物线定义严格要求定点不在定直线上（\(F \notin l\)）。

本题中定点 \(F(1, 0)\) 恰好就在直线 \(l: x = 1\) 上！设动点 \(P(x, y)\)，它到直线 \(l\) 的垂足为 \(H(1, y)\)。由 \(|PF| = |PH|\) 得 \(\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = |x-1|\)，两边平方即得 \((x-1)^2 + y^2 = (x-1)^2 \implies y^2 = 0 \implies y = 0\)。轨迹是过点 \(F\) 且垂直于 \(l\) 的一条直线（即 \(x\) 轴），并不存在抛物线！

B。方法提示：用准线转化距离。抛物线 \(y^2 = 4x\) 的焦点为 \(F(1, 0)\)，准线为 \(l: x = -1\)。由定义，\(|PF| = d(P, l)\)（\(P\) 到准线的距离）。

所以 \(|PA| + |PF| = |PA| + d(P, l)\)。由垂线段最短，当过 \(A\) 作准线 \(l\) 的垂线交抛物线于 \(P\) 时，折线段化为直线段，取得最小值，最小值为点 \(A\) 到准线的距离：\(x_A - (-1) = 4 - (-1) = 5\)。

若误连 \(AF\) 算两点距离 \(\sqrt{(4-1)^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3.6\)（选 D），由于点 \(A\) 在抛物线内部，线段 \(AF\) 根本不与抛物线相交，动点 \(P\) 绝不可能落在线段 \(AF\) 上！