2012 年天津预赛 · 第 8 题

解答

取连续四顶点 $A=(-2,\sqrt{3}),B=(-1,0),C=(1,0),D=(2,\sqrt{3})$。一般二次曲线写为 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$。代入下方两点得 $D=0,F=-A$；上方两点相减得 $B=0$，再得 $3A+3C+\sqrt{3}E=0$。非退化抛物线的二次部分秩为一，故 $AC=0$。若 $A=0$，只会得到退化的水平直线对；因此 $C=0,A\ne 0,E=-\sqrt{3}A$。唯一抛物线为 $x^2-\sqrt{3}y-1=0$，即 $x^2=\sqrt{3}(y+1/\sqrt{3})$。与标准式比较，焦点到准线距离为 $\boxed{\sqrt{3}/2}$。