2011 年湖南预赛 · 第 11 题

解答

对第 $i$ 条抛物线取单位轴向 ${\mathbf{d}}_i$、垂直方向 ${\mathbf{n}}_i$、顶点 $V_i$ 和正参数 $p_i$，其内部写为 $({\mathbf{n}}_i\cdot (X-V_i){)}^2<2p_i{\mathbf{d}}_i\cdot (X-V_i)$。选单位方向 $\mathbf{u}$ 不平行于任何一条抛物线的轴，只需避开有限个方向，故可以做到。令 $X=R\mathbf{u}$，对每一条曲线，左端减右端是关于 $R$ 的二次式，最高次系数为 $({\mathbf{n}}_i\cdot \mathbf{u}{)}^2>0$，因此当 $R$ 足够大时严格为正，点就在该抛物线外。只有有限条曲线，可取所有阈值的最大值，使同一点同时位于全部外部。因此 $\boxed{2011\text{ 条抛物线内部不能覆盖整个平面}}$。