2015 年安徽预赛 · 第 6 题

解答

抛物线在 $(t,t^2)$ 处的切线为 $y=2tx-t^2$。反射 $P=(0,1)$ 得 $Q=(4t(1+t^2)/(1+4t^2),(2t^2-1)/(1+4t^2))$。因此 $-1\le y<1/2$，且 $t^2=(1+y)/(2-4y)$、$x=2t(1-y)$。消元得到 $\boxed{(1-2y)x^2=2(1+y)(1-y{)}^2,y<1/2}$。反过来，对任意候选点取 $t=x/(2(1-y))$，可核全部镜像坐标条件，故是完整轨迹。