2010 年陕西预赛 · 第 10 题

思路

存在实参数的二次方程可用判别式判断，但二次项系数为零时须改用一次或常数方程。通常圆要求半径严格为正。

想法从哪来：求所有动圆上的点，是问某点能否落在至少一个圆周上，并非求各圆围成圆盘的并。先把圆心用一个抛物线参数表示，半径随之确定，再把固定点落在圆周的条件看成关于参数的方程。通常可用判别式判断有无实参数，但首项系数随点坐标变化，不能忽略它恰为零时方程降成一次式的情况。所有圆都与横轴相切且在上方，先给出纵坐标必要范围；横轴点则单独处理，并剔除零半径参数。对其他点取得实参数后，还应核参数非零。这样判别式边界上的两个特殊点为何要删去，便有明确原因。

把圆心横坐标作参数，某点属于至少一个圆等价于一条关于该参数的方程有非零实根。