2013 年河北预赛 · 第 6 题

解答

设 $B=(c,s)$、$P=(X,Y)$，$c^2+s^2=1$。由 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{OB}$，有 $X=1+\lambda c,Y=\lambda s$。点积条件给 $\lambda (1-c)=1$，故 $c\ne 1$、$\lambda =1/(1-c)>0$，并且X=λ。于是

反之，对抛物线上任意点 $Y^2=2X-1$，自动有 $X\ge 1/2$。取 $\lambda =X,c=1-1/X,s=Y/X$，则 $c^2+s^2=1$，且两条向量条件均成立。因此完整轨迹为