2016 年天津预赛 · 第 14 题

解答

两方程相减得 $(x-2y)(x+2y+2)=0$。在 $x=2y$ 上代入第一式得 $x^2+x/2+a=0$；在 $x+2y+2=0$ 上得到 $x^2+3x/2+a+1=0$。两组各有两个不同实点要求 $a<-7/16$。两条直线的交点是 $(-1,-1/2)$，它在曲线上恰当 $a=-1/2$，此时两组共用一点，只剩三个不同交点。因此 $\boxed{a\in (-\infty ,-1/2)\cup (-1/2,-7/16)}$。将第一式加第二式的四分之一，可知全部交点满足 $x^2+y^2+3x/4-y/4+5a/4=0$，这是真圆，圆心为 $\boxed{(-3/8,1/8)}$。