2008 年天津预赛 · 第 2 题

解答

抛物线要求 $a\ne 0$。若 $b=0$，给定关系迫使 $a=0$，矛盾，所以顶点横坐标 $X=-b/(2a)\ne 0$。纵坐标为 $Y=1-b^2/(4a)$。将 $b=-2aX$ 代入条件，得到 $1-X=-a{X}^3$，所以 $a=(X-1)/X^3$。于是 $Y=1-a{X}^2=1/X$。因此顶点一定在双曲线 $\boxed{XY=1}$ 上，选 B。