2018 年湖南预赛 · 第 11 题

解答

第一条抛物线焦顶距为四分之一，故方程为 $(y-1{)}^2=x-(\sqrt{2}-1)$，即 $x=y^2-2y+\sqrt{2}$。第二条为 $x=-y^2+ay-2b$。设垂直相交点的纵坐标为 $t$，两切向可取 $(2(t-1),1)$、$(a-2t,1)$，所以 $2(t-1)(a-2t)+1=0$。交点坐标相同给 $2b=at-2t^2+2t-\sqrt{2}$。因此 $a-2b=(1-t)(a-2t)+\sqrt{2}=1/2+\sqrt{2}$。将 $y=1$ 代第二条曲线，得 $x=a-2b-1=\sqrt{2}-1/2$。故 $\boxed{C_2\text{ 必过 }(\sqrt{2}-1/2,1)}$。