一条极线，两种不变量

非退化二次型与互易性

齐次点 X=(x,y,z)ᵀ，二次曲线为 XᵀMX=0，M 为实对称可逆 3×3 矩阵。点 P≠0 的极线为 (MP)ᵀX=0；非零直线 l 的极点为 M⁻¹l（均按非零倍数等同）。因为 M 对称，QᵀMP=PᵀMQ，所以 Q 在 P 的极线上，当且仅当 P 在 Q 的极线上。可逆性保证极点、极线唯一；退化二次型不能直接使用此极性。

切线不等于任意极线

曲线上点 T 的切线为 TᵀMX=0。若从 P 存在实切线，其切点 T 同时满足曲线方程与 polar(P)。对本实验的实椭圆，P 外部有两实切点，曲线上有一切点，内部没有实切点；内部点的实极线仍然存在。中心 P=(0,0,1) 的极线是 z=0，即射影无穷远直线，在仿射图中不画成有限直线。

为什么出现调和点列

本图 M=diag(1/a²,1/b²,−1)，a,b>0。记 u=(cosθ,sinθ)，直线参数 X=P+tu。代入曲线得 αt²+2βt+γ=0，其中 α=uₓ²/a²+uᵧ²/b²>0，β=pₓuₓ/a²+pᵧuᵧ/b²，γ=pₓ²/a²+pᵧ²/b²−1。极线条件化为 γ+βt=0。两实根记 t₁,t₂；若 P 不在曲线上且判别式 β²−αγ>0，则 γ≠0，t₁,t₂,0,tᴅ 为四个互异射影点。

β≠0 时，tᴅ=−γ/β=2t₁t₂/(t₁+t₂)。代入定义得 (A,B;P,D)=(t₁/t₂)·(tᴅ−t₂)/(tᴅ−t₁)=−1，这就称为调和点列。β=0 时，t₂=−t₁，D=[1:0] 在无穷远，以极限得交比 t₁/t₂=−1。中心情形同样适用。

相切时 A=B；P 在曲线上时 P 与端点重合；没有两个实交点时不能讨论本实验的实调和点列。实现分别拒绝这些情形和所有交比分母为零/点重合情形，不把 0/0 当答案。数值容差 10⁻¹² 仅作退化识别，病态输入会提示不可分辨。

一个可手算的圆例

圆半径 2，P=(3,0)，取 x 轴割线。A=(−2,0)、B=(2,0)、D=(4/3,0)，交比为 (5/1)÷[(10/3)/(−2/3)]=−1。polar(P) 是 x=4/3；两实切点为 (4/3, ±2√5/3)。内部点 P=(1,0) 的极线是 x=4，但没有实切点。