同一骨架 2019 年中科大少年班初试 第 1 题 · P009941
把绝对值内的两个独立一次式整体作为新坐标，复杂边界立即变成标准菱形；可逆性与面积倍率由同一个行列式负责。
前题的线性变换保面积，后题有方向翻转且需要按倍率还原；显示图的伸缩与原平面的真实面积也应分开。
培玉 · 一试
2020 年中科大少年班初试 · 第 2 题
F3填空题解析几何综合
若，则其围成的平面区域面积为。
为辨认原区域，纸面显示坐标为，顶点旁仍标原；此图不是原平面的等距图，面积按原坐标计算。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把两个绝对值内部的一次式作为新坐标，面积按行列式缩放。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，变换行列式为 。新区域是 ，两条对角线均长二，所以面积二。面积倍率的绝对值是一，故原区域面积为 。
复核
此变换可逆，四个顶点与所有边界都一一对应。题图为便于显示所用的非等距显示坐标不能直接用作原平面的度量坐标，面积应由上述行列式算回。
方法总结
线性绝对值区域适合整体变换到菱形，行列式同时负责可逆性与面积倍率。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需自行选择两个线性形式为新坐标，识别菱形区域并用行列式的绝对值还原原平面面积。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：行列式与面积、体积比
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