2010 年湖南预赛 · 第 17 题

F2解答题解析几何综合

设椭圆

C_{1} : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

和椭圆

C_{2} : \frac{x ^{2}}{m ^{2}} + \frac{y ^{2}}{n ^{2}} = 1,

过原点 $O$ 引射线分别交 $C_{1}, C_{2}$ 于 $A, B$ 两点， $P$ 为线段 $A B$ 上一点。

(1)
求证： $∣ O A ∣, ∣ OP ∣, ∣ OB ∣$ 成等比数列的充要条件是 $P$ 点的轨迹方程为
$C_{3} : (\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}}) (\frac{x ^{2}}{m ^{2}} + \frac{y ^{2}}{n ^{2}}) = 1.$
(2)
试利用合情推理，将（1）的结论类比到双曲线，得出相应的正确结论（不要求证明）。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

为什么评为 F2（会透露解法方向）

以同射线正径长和二次型齐次性证明轨迹充要，类比双曲线时须补两个二次型均为正而不只乘积为正。

用到的方法（会透露解法方向）