培玉 · 一试
2015 年河南预赛 · 第 11 题
如图，过椭圆 （）中心 的直线 分别交椭圆于点 四点，且直线 的斜率之积是 。过点 作两条平行线 ，设 ，，且 ，求证：。
本站依题述关系自绘示意；未核对原图，不补充条件。
题图关系说明： 分别为 与椭圆的另一个交点。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先独立尝试，再展开工具说明与想法来源。
思路
可逆仿射变换保持共线、相交、平行，但一般不保持角度与长度。这里垂直关系须由变换后的斜率积重新验证。
想法从哪来：椭圆中遇到特殊斜率积，先不要急着写两条直线的全部坐标：这个积恰能在沿两轴分别伸缩后变成负一，而椭圆同时变成圆。伸缩虽不保角，却保持直线、交点和平行，所以适合本题最终结论。再旋转圆，把两条垂直直径放成坐标轴，两条平行线只需同一个方向向量。圆上已知一交点，另一个可由二次方程根积求出，随后联立两条弦所在直线得到P。最后检查公式的分母：若方向使两直线没有唯一交点，就属于题设P不存在的情形，不能硬代入除以零的式子。
先把椭圆可逆地伸缩成圆，使两条共轭直径互相垂直，再转动坐标。平行与交点在这些变换下都保留。
解答
令新坐标为 ，椭圆成为单位圆；直径斜率积变为负一。再转动、必要时反射坐标，可取 ，两平行线的共同方向为 。构造有定义给 ，此时 。令 ，两条过圆上点的直线之第二交点为 、。直接将这两点写出的 方程与 联立，得到其唯一交点 。因此 的方向就是 ，即 。最后还原转动与伸缩，平行关系不变，原结论成立。
复核
或 会使题述某个有限交点不存在； 时 与 重合，没有题述唯一交点 ，不是有效构型。在其余全部有效方向上述联立成立。本证明只用文字中已说明的 第二交点定义，不从缺失原图猜额外点序。
方法总结
共轭直径可先仿射归一化，再用圆上的第二交点公式统一证明整族平行性。
为什么评为 F4（会透露解法方向）
共轭直径经可逆伸缩成为垂直直径，统一求圆上第二交点与两条线的交点，再还原全族平行关系。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用基点和线性组合表示位置、建直角坐标系解几何题
已记下，谢谢！