2013 年河南预赛 · 第 8 题

解答

写 $B=(u,1/u),C=(v,1/v)$，$u,v>0,u\ne v$。由 $AB=AC$，函数 $(u+1{)}^2+(1/u+1{)}^2=(u+1/u{)}^2+2(u+1/u)$ 在 $u+1/u\ge 2$ 上严格递增，故 $u+1/u=v+1/v$。相异性于是给 $v=1/u$。令 $s=u+1/u>2$，则 $A{B}^2=s^2+2s$，$B{C}^2=2(s^2-4)$。相等给 $s^2-2s-8=0$，取 $s=4$。从而边长平方二十四，外接圆半径平方为八，所求面积 $\boxed{8\pi }$。