2013 年天津预赛 · 第 2 题

解答

取 $B=(0,0,0),C=(0,0,2)$。条件给 $\angle ABC=30^{\circ }$ 或 $150^{\circ }$，因此空间轨迹满足 $x^2+y^2=z^2/3$。平面 $z=1$ 截得圆，是椭圆的一种；平面 $z=\sqrt{3}x+1$ 截得 $y^2=2x/\sqrt{3}+1/3$，是抛物线；平面 $x=1$ 截得 $z^2-3y^2=3$，是双曲线。三个平面均不含 $B,C$，所以三种都可能，选 $\boxed{\mathrm{D}}$。