2008 年河南预赛 · 第 13 题

解答

椭圆左焦点 $F_1=(-1,0)$，左准线为 $x=-4$。设 $P=(-4,t)$。按 $P,F_1,M$ 逆时针排列，向量 $PM$ 是 $P{F}_1=(3,-t)$ 逆时针转六十度所得，所以 $M=(-5/2+\sqrt{3}t/2,t/2+3\sqrt{3}/2)$。消去实参数 $t$，得到 $\boxed{x-\sqrt{3}y+7=0}$。反之，该直线任一点均有唯一实参数 $t$，并满足同一旋转构造，故轨迹是整条直线。