2009 年天津预赛 · 第 7 题

解答

记 $c=\sqrt{a^2-b^2},h=\sqrt{a^2+b^2}$，所以 $h>c>0$。以 $F_4$ 为原点、$A-F_4$ 与原横轴方向为基，写 $A=(1,0),B=(r,0)$，$0<r<1$；三焦点坐标是 $F_3=(0,f_3),F_2=(0,f_2),F_1=(0,f_1)$，其中 $f_3=-2h,f_2=c-h,f_1=-c-h$。若 $T=A{F}_2\cap B{F}_3$，解两组一次方程得到 $C=(r(f_3-f_2)/(r{f}_3-f_2),f_2{f}_3(r-1)/(r{f}_3-f_2))$，$T=(r(f_2-f_3)/(r{f}_2-f_3),f_2{f}_3(r-1)/(r{f}_2-f_3))$。条件 $C,T,F_1$ 共线的行列式化简为 $r(r-1)(f_2-f_3)(f_1{f}_2+f_1{f}_3-2f_2{f}_3)=0$，非零的分母和因子已由有效构型排除。代焦点数值得 $h^2-6hc+c^2=0$，所以 $h/c=3+2\sqrt{2}$。最后 $a^2/b^2=(h^2+c^2)/(h^2-c^2)$，得到 $\boxed{3\sqrt{2}/4}$。