同一骨架 2020 年中科大少年班初试 第 2 题 · P009714
把绝对值内的两个独立一次式整体作为新坐标，复杂边界立即变成标准菱形；可逆性与面积倍率由同一个行列式负责。
前题的线性变换保面积，后题有方向翻转且需要按倍率还原；显示图的伸缩与原平面的真实面积也应分开。
培玉 · 一试
2019 年中科大少年班初试 · 第 1 题
F3填空题解析几何综合
平面区域的面积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
两个绝对值中的一次式组成可逆线性变换。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
令 ，行列式为负二，面积倍率为二。区域 是两对角线均长十的菱形，面积五十。所以原区域面积为 。
复核
行列式取绝对值，负号表示方向翻转而非负面积；可逆变换保留整个闭区域及边界。
方法总结
先识别标准菱形，再用面积倍率还原，可避免逐边求长。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须独立选两个线性形式并判断面积倍率方向。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：行列式与面积、体积比
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