2017 年中科大少年班初试 · 第 12 题

解答

切线方程为 $(4/\sqrt{5})x/4+(1/\sqrt{5})y=1$，即 $\boxed{x+y=\sqrt{5}}$。对任意椭圆点 $P=(x,y)$，柯西不等式给 $|x+y|\le \sqrt{5}$。对任意双曲线点 $Q=(u,v)$，$uv=4>0$，从而 $|u+v|\ge 4$。沿单位向量 $(1,1)/\sqrt{2}$ 投影，得到 $PQ\ge |(u+v)-(x+y)|/\sqrt{2}\ge (4-\sqrt{5})/\sqrt{2}$。又 $\sqrt{5}<9/4$，所以此下界大于 $7/(4\sqrt{2})>6/5$；最后一严格不等式平方等价于 $1225>1152$。因此 $\boxed{PQ>6/5}$。