必修第二册 · 第 8 章立体几何初步

8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

从二维平面走向三维空间：四大基本事实构建几何大厦，两直线不相交不一定是平行（异面直线），等角定理谨记互补，平移化异面为共面求夹角。

3D 舞台：在长方体里任选两条线、一线一面或两个面，看位置关系，平移异面直线求夹角 →

在初中平面几何里，我们熟悉一个经验：“在同一个平面内，两条直线如果不相交，就一定互相平行”。

但抬头观察真实的三维世界：高架桥上一辆汽车自西向东飞驰，桥下地面上一列地铁自北向南穿行。先独立判断，选择后再切换视角观察。

高架桥上的公路与地面上的铁轨，这两条直线既永远不会相交，也显然不平行。在空间中，它们属于什么位置关系？

1. 先认识几个词

要用到：8.1 正方体的棱与面（回看 8.1），8.2 直观图（回看 8.2）；初中平面内“两直线不相交就平行”。

直观微图解

空间两直线位置：相交（共面有交点）、平行（共面无交点）、异面（不同在任一平面且无交点）。

平行直线共面无交点（传递律成立）

空间共面性：一定存在某一个确定的平面 $\alpha$，使两条直线同时在该平面内。

传递性：基本事实 4 明确保证：$a \parallel b,\ b \parallel c \implies a \parallel c$ 严格成立。

夹角定义：同向或反向平行，方向相同夹角为 $0^\circ$。

异面直线不同面无交点（无传递律）

空间异面性：不同在任何一个平面内，绝对找不到包含两线的平面。

无传递性：$a$ 与 $b$ 异面、$b$ 与 $c$ 异面，$a$ 与 $c$ 完全可能平行或相交！

夹角定义：平移至同一公共点相交所成的锐角或直角：$0^\circ < \theta \le 90^\circ$。

平面：平的、无厚度、向四周无限延展。记作平面 $\alpha$、平面 $ABCD$。

共线与共面：点落在同一直线上叫共线；点或直线落在同一平面内叫共面。

异面直线判定：平面外一点与平面内一点连成的直线，与平面内不过该点的直线必为异面直线。

2. 四大基本事实：公理化推演基石

$$\color{#0284c7}{\text{事实 1：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面（三点定面）}}$$ $$\color{#d97706}{\text{事实 2：若直线上有两点在平面内，整条直线必全在该平面内}}$$ $$\color{#059669}{\text{事实 3：两不重合平面只要有一个公共点，必有且只有一条过该点的公共交线}}$$ $$\color{#ec4899}{\text{事实 4：平行于同一条直线的两条直线平行（空间平行传递性：} a\parallel b, b\parallel c \implies a\parallel c)}$$

三线共点：要证三条直线交于一点，先说明其中两条交于点 $P$，再说明 $P$ 在第三条线上——常常第三条线是两个平面的交线，而 $P$ 正好是这两个平面的公共点。

例 1（看一遍怎么写：共线判定）

$\triangle ABC$ 不在平面 $\alpha$ 内，直线 $AB,\ BC,\ CA$ 分别交平面 $\alpha$ 于点 $P,\ Q,\ R$。证明 $P,Q,R$ 三点共线。

证：$A,B,C$ 不共线，由基本事实 1 确定唯一平面 $ABC$。

$P \in AB \subset$ 平面 $ABC$，故 $P \in$ 平面 $ABC$；又 $P \in \alpha$，所以 $P$ 是两平面的公共点。同理 $Q,\ R$ 也是公共点。

由基本事实 3，两不重合平面相交必有一条唯一交线 $l$，所有公共点必在 $l$ 上。因此 $P,Q,R$ 都在 $l$ 上，三点共线。

自己试试：空间中有四个点，其中三个点在同一条直线上。这四个点：

A。设 $A,B,C$ 在直线 $l$ 上。第四点 $D$ 若不在 $l$ 上，“直线和直线外一点”定一个平面，四点都在里面；若 $D$ 也在 $l$ 上，四点共线，当然也共面。选 C 的同学把它和“四点中任意三点不共线”弄混了，那种情况才可能不共面。

3. 空间两条直线的三种位置

关系	是否共面	公共点个数	能否传递
相交	是	恰有 1 个	否
平行	是	0 个	是（事实 4）
异面	否	0 个	否（完全不能传递）

自己试试：直线 $a$ 与 $b$ 异面，$b$ 与 $c$ 异面。那么 $a$ 与 $c$：

D。在正方体里取 $b=AB$：$a=CC_1$、$c=DD_1$ 时 $a\parallel c$；$a=CC_1$、$c=B_1C_1$ 时相交于 $C_1$；$a=CC_1$、$c=A_1D_1$ 时异面。选 A 的同学把“异面”当成像平行一样能传递，其实只有平行能传递。

4. 异面直线所成的角与三步思维链

$$\color{#0284c7}{\text{异面直线所成角定义：任意平移使其相交，两线所成的锐角或直角}}$$ $$\color{#ec4899}{\text{取值范围：} 0^\circ < \theta \le 90^\circ \quad (\text{垂直时 } \theta=90^\circ \iff a \perp b)}$$

典型题三步思维链：正方体中异面直线夹角求法

题目：在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求异面直线 $A_1B$ 与 $B_1C$ 所成的角。

👀 看到什么 → 想什么：

两直线不相交也不平行 → 先判为异面直线，再找一条平行线把它们移到同一点。
求异面直线所成角 → 转成相交直线的夹角，取不超过 90° 的那个角。

🔧 第二步套公式/方法（平移构造法）：

① 寻找平行线平移：在正方体中，后侧对角线 $D_1C \parallel A_1B$ 且长度相等（因为 $A_1D_1 \parallel BC$ 且相等，四边形 $A_1BCD_1$ 是平行四边形）。

② 化异面为相交：将 $A_1B$ 平移为 $D_1C$，两条相交直线汇聚于点 $C$，所求夹角转化为 $\angle B_1CD_1$（或其补角）。

③ 放入三角形求解：连结 $B_1D_1$，在 $\triangle B_1CD_1$ 中：
$B_1C = \sqrt{2}$（右侧面对角线），$D_1C = \sqrt{2}$（后侧面对角线），$B_1D_1 = \sqrt{2}$（顶面对角线）。
三边长度完全相等，因此 $\triangle B_1CD_1$ 是等边三角形！
$\angle B_1CD_1 = 60^\circ$。

🛡️ 第三步必查防坑结论： ① 异面直线夹角绝对不能为钝角！若平移后在三角形内解出的角是钝角（如 $120^\circ$），最终答案必须取其补角 $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$；
② 夹角范围是 $(0^\circ, 90^\circ]$，不能是 $0^\circ$（若为 $0^\circ$ 则两线平行，不是异面）。

自己试试：在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，异面直线 $A_1B_1$ 与 $BC_1$ 所成的角是：

C。$A_1B_1\parallel AB$，所以所求角就是 $AB$ 与 $BC_1$ 的夹角 $\angle ABC_1$。设棱长为 $1$，在 $\triangle ABC_1$ 中，$AB=1$，$BC_1=\sqrt2$（面对角线），$AC_1=\sqrt3$（体对角线），$1^2+(\sqrt2)^2=(\sqrt3)^2$，由勾股定理的逆定理，$\angle ABC_1=90^\circ$。

选 B 的同学看到 $BC_1$ 是面对角线，就以为和棱成 $45^\circ$；可 $45^\circ$ 是它和同一面里的棱 $BC$ 的夹角，$AB$ 不在那个面里。

5. 三大翻车现场与反例微图解

翻车点 1 误以为“异面”具有传递性

❌ $a$ 与 $b$ 异面，$b$ 与 $c$ 异面，就认定 $a$ 与 $c$ 也是异面。

✔ 平行才传递：正方体里 $CC_1$ 与 $AB$ 异面，$DD_1$ 与 $AB$ 也异面，但 $CC_1 \parallel DD_1$ 却互相平行！

翻车点 2 异面直线夹角写出钝角

❌ 平移成相交后，算出三角形内角为 $135^\circ$，直接答 $135^\circ$。

✔ 锐角或直角：异面直线夹角范围严格为 $(0^\circ, 90^\circ]$。算得钝角必须取其补角 $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$！

翻车点 3 空间中“不相交”就断定“平行”

❌ 看到两条直线没有公共点，立刻下结论判定它们互相平行。

✔ 必须先确认共面：空间中无交点包含平行与异面两种截然不同的位置关系！只有在同一平面内，无交点才是平行。

反例微图解：立交桥投影相交 vs 空间异面

二维平面俯视投影显示两条道路交叉相交，但空间实际一上一下具有垂直间隙 $h$，毫无公共点，是标准的异面直线！

正方体两直线位置关系与平移求角实验室

点击切换下方典型棱对，观察正方体透视投影中的相对空间位置；拖动滑块或按键盘左右方向键平移直线，直观体验“化异面为共面”求角过程：

第一条直线（松绿）第二条直线（黛蓝）平移后位置（金黄）被遮挡内棱（虚线）

平移进度 $t = $ 0%

直接用

1. 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的 12 条棱中，与棱 $AB$ 既不相交也不平行的棱（即异面棱）共有几条？

B。正方体共有 12 条棱。与棱 $AB$ 的关系分类如下：

与 $AB$ 平行的棱有 3 条：$A_1B_1, CD, C_1D_1$；
与 $AB$ 相交的棱有 4 条：$AA_1, BB_1, AD, BC$；
排除 $AB$ 本身及上述 7 条棱，剩下的 4 条棱与 $AB$ 既不相交也不平行，全部是异面直线，它们是：$CC_1, DD_1, A_1D_1, B_1C_1$。

2. 空间中三条直线 $a, b, c$。若 $a \parallel b$ 且 $b \parallel c$，则直线 $a$ 与 $c$ 的位置关系是：

A。由立体几何基本事实 4（平行公理）：平行于同一条直线的两条直线互相平行。该性质在三维空间中依然具有严格的传递性，因此只要 $a \parallel b$ 且 $b \parallel c$，必有 $a \parallel c$。

3. 在正四面体（四个面均为正三角形的三棱锥）$P-ABC$ 中，棱 $PA$ 与对棱 $BC$ 所成的角的大小为：

D。取 $BC$ 的中点 $D$，连结 $PD, AD$。

因为 $\triangle PBC$ 与 $\triangle ABC$ 都是等边三角形，所以中线也是高：$PD \perp BC$ 且 $AD \perp BC$。

因为 $PD \cap AD = D$，所以 $BC \perp$ 平面 $PAD$。

又因为 $PA \subset$ 平面 $PAD$，所以 $BC \perp PA$，即异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成的角是 $90^\circ$（互相异面垂直）。

结论推广：正四面体的任意一组对棱都互相垂直，这是高考的高频几何特征！

易错

4. 空间中两个角 $\angle A$ 和 $\angle B$ 的两边分别对应平行。已知 $\angle A = 55^\circ$，则 $\angle B$ 的度数为：

C。易错警示：根据等角定理，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补！

当两组对应边方向均相同或均相反时，$\angle B = \angle A = 55^\circ$；当一组方向相同、另一组方向相反时，$\angle B = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$。未给定图形时必须保留两解，切莫漏掉“互补”！

5. 下列关于空间点、线、面位置关系的命题中，正确的是：

C。逐项剖析：

A 错误：基本事实 1 明确要求“不共线的三点”。若三点在同一直线上，经过它们的平面有无数个；
B 错误：空间中没有公共点的两直线可能是平行直线，也可能是异面直线；
C 正确：设对角线相交于点 $O$，两对角线是两条相交直线，由基本事实 1 的推论“两条相交直线确定一个平面”，该平面的四个顶点必同在这一平面内；
D 错误：反例为普通平面凸四边形（如矩形），四个顶点任意三点不共线，但它们完全共面。

本节高考真题

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本节精选

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遇到异面直线判定的真题，可回看“先认识几个词”中的异面直线判定，先核对平面内外与是否经过面内连接点。

一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

立体几何基础知识截面与折叠

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