2014 年湖南预赛 · 第 5 题

解答

可把三棱柱化为 $x,y\ge 0,x+y\le 1,0\le z\le 1$，并取 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(0,1,0)$。有 $M=(1,0,1/2),N=(1/2,1/2,1)$，截平面为 $z=(x+3y)/2$。该线性高度在整个底面上的积分为 $1/3$。超过柱顶一的投影是以 $(0,1),(0,2/3),(1/2,1/2)$ 为顶点的小三角形，面积 $1/12$，超出高度在三个顶点分别为 $1/2,0,0$，因此多算体积为 $1/72$。平面下方实际体积为 $23/72$，上方为 $13/72$，原柱体积为 $1/2$。故较小部分比值为 $\boxed{13/36}$，选 B。