2017 年中科大少年班初试 · 第 6 题

解答

侧棱长为 $R=\sqrt{6}/2$。每个侧面顶角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =2/3$，故 $\cos 2\theta =-1/9$。将两面 $PAB,PBC$ 沿 $PB$ 展开，设 $PF=r\ge 0$，三角不等式给 $AE+EF\ge \sqrt{R^2+r^2-2Rr\cos 2\theta }=\sqrt{R^2+r^2+2Rr/9}\ge R$。另外两面同样给 $FG+GA\ge R$。所以总长至少 $2R=\sqrt{6}$。取 $E=F=G=P$ 时正好等于 $2R$，因此 $\boxed{\min (AE+EF+FG+GA)=\sqrt{6}}$。