2012 年河南预赛 · 第 3 题

解答

折叠保持 $MA=MB=MC=2$，以及 $AC=2,BC=2\sqrt{3}$。折后 $AB=2\sqrt{2}$，所以 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$。以 $M$ 为原点可取 $A=(2,0,0),B=(0,2,0)$。设 $C=(x,y,z)$，由 $A{C}^2=4,B{C}^2=12,M{C}^2=4$ 作差得 $x=1,y=-1,z=\pm \sqrt{2}$。于是平面 $ABC$ 为 $\sqrt{2}x+\sqrt{2}y\pm 2z=2\sqrt{2}$，点 $M$ 到它的距离为 $2\sqrt{2}/\sqrt{8}$，即 $\boxed{1}$。