2009 年河南预赛 · 第 2 题

解答

取单位正方体为 $[0,1{]}^3$，平移中心坐标为 $X=x-1/2,Y=y-1/2,Z=z-1/2$。例如平面 $A{B}_{1}C$ 为 $-x+y+z=0$，含中心侧给 $X-Y-Z\le 1/2$。其余七面依次给全部符号组合 $\pm X\pm Y\pm Z\le 1/2$，共同交集等价于 $|X|+|Y|+|Z|\le 1/2$。这是六个原正方体面心为顶点的正八面体，分成八个直角三棱锥，每个体积为 $(1/2{)}^3/6=1/48$，因此总体积 $\boxed{1/6}$。