2008 年黑龙江预赛 · 第 10 题

解答

展开后 $P_{1}C=P_{2}C=PC$，且三点共线，所以 $C$ 是 $P_1{P}_2$ 中点。同理 $B$ 是 $P_2{P}_3$ 中点。由 $P_1{P}_2=P_2{P}_3$，得 $PC=PB$。 在展开图中，$A{P}_1=A{P}_3=PA$。利用中点的距离公式，

两式相减，共同的 $A{P}_2^2$ 消去；再由 $A{P}_1=A{P}_3$、$P_1{P}_2=P_2{P}_3$，得到 $A{C}^2=A{B}^2$，即 $AC=AB$。 折回后长度保持不变，因此 $A,P$ 都到 $B,C$ 等距，即都在 $BC$ 的垂直平分面上。直线 $PA$ 位于这个平面内，其方向垂直于 $BC$。所以所求角为 $\boxed{90^{\circ }}$，选 D。