2015 年河北预赛 · 第 4 题

解答

取 $C=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),D=(0,1,1)$。在 $D$ 处，三面 $DAB,DAC,DCB$ 的角依次为 $\alpha ,\beta ,\pi /4$，其中 $\cos \alpha =1/\sqrt{3},\cos \beta =\sqrt{2/3}$，所以 $\alpha +\beta =\pi /2$。按顺序展开这三面后，两份 $B$ 到 $D$ 的距离均为一，夹角为 $3\pi /4$。任意路径 $BE+EF+FB$ 不小于两份 $B$ 的直线距离 $\sqrt{2-2\cos (3\pi /4)}=\sqrt{2+\sqrt{2}}$。这条弦依次穿过展开的 $DA,DC$ 两条射线，交点到 $D$ 的距离为 $\cos (3\pi /8)/\cos (\phi -3\pi /8)$，其中 $\phi =\alpha$ 或 $\pi /2$。两值都严格正且不大于一，小于棱长 $DA=\sqrt{3},DC=\sqrt{2}$，所以交点确为允许的 $E,F$，下界能够达到。所求最小值为 $\boxed{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$。