培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第二册 · 第 8 章 立体几何初步
8.1 基本立体图形
多面体由平面多边形围成，旋转体由平面曲线绕轴旋转生成。识别几何体时，除了观察外形，还要对照定义中的条件，区分棱柱、棱锥、棱台与圆柱、圆锥、圆台、球。
3D 舞台：把七种几何体转一转、拆一拆，看旋转体怎样转出来 →
生活中有各种各样的包装盒：粉笔盒、台灯罩、金字塔模型、水杯和足球。先独立判断下面的说法，选择后再用互动模型比较侧棱。
如果一个多面体“有两个面互相平行，其余各个面都是四边形”，它一定能叫棱柱吗？
B。仅有两个面平行且其余面是四边形，并不足以构成棱柱！
反例：看图中间的② 四棱台灯罩（上下底平行，四个侧面全是梯形四边形，但四条侧棱向上延长后交于同一点 \(S\)）和右边的③ 扭曲侧面多面体，它们都满足“两底平行且侧面为四边形”，但因为侧棱不互相平行，都不是棱柱！
立体几何的分类不能只凭粗看，必须从底面形态、侧面结构与侧棱平行性等严格几何条件来界定。这一节我们就来系统建立基本立体图形的识别框架。
1. 先认识几个词
要用到：初中平面几何中的多边形、圆、矩形、直角三角形与圆心角。
侧棱关系定分类：
• 棱柱：两底面平行全等，侧棱互相平行且相等；
• 棱锥：底面为多边形，侧棱相交于唯一点；
• 棱台：截顶而成，侧棱延长线必交于一点。
旋转生成与截面：矩形绕一边成圆柱、直角三角形绕一直角边成圆锥、直角梯形绕垂直于两底的腰成圆台、半圆面绕直径成球。本节这四种几何体中，垂直于旋转轴且穿过内部的截面是圆面；圆锥顶点、球的切点等边界截面会退化为点。
“直”与“正”的区别：
- “直”：指侧棱（或轴）垂直于底面。例：直棱柱侧棱垂直底面，侧面都是矩形；
- “正”：在“直”的基础上，要求底面是正多边形（正棱锥顶点投影落在底面中心）。长方体是直四棱柱，但底面非正方形时不是正四棱柱。
轴截面与平行截面：经过旋转轴的截面叫轴截面（圆柱为矩形、圆锥为等腰三角形、圆台为等腰梯形、球为大圆面）。圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面且穿过内部的截面都是圆面；球没有底面，过球心的截面为大圆面。
2. 核心判定与结构规律
② 棱锥与正棱锥：共顶点三角形侧面；底面为正多边形且顶点投影在中心才叫正棱锥；
③ 棱台严苛条件：必须由棱锥平行截取，侧棱延长线必汇交于同一点；
④ 截面两规律：① 截面多边形边数 \(3 \le n \le \text{多面体总面数}\)；② 平行面被截交线必平行。
例 1（看一遍怎么写）
下列关于多面体结构特征的命题中，判断正误并说明理由：
① 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；
② 底面是正多边形、侧面都是全等矩形的棱柱一定是正棱柱；
③ 侧面都是全等等腰三角形的棱锥一定是正棱锥。
解：
① 错误。四棱台就是反例：上下底面平行，四个侧面都是梯形，侧棱延长后交于同一个锥顶，侧棱并不互相平行。这里“侧面是四边形”不足以保证棱柱的结构。
② 正确。侧面是矩形说明侧棱垂直底面，因此是直棱柱；底面又是正多边形，所以是正棱柱。
③ 错误。取底面菱形的两条对角线长分别为 \(4\) 和 \(2\)，顶点在底面中心正上方，高为 \(1\)。由勾股定理，底边均长 \(\sqrt5\)，四条侧棱交替长 \(\sqrt5\)、\(\sqrt2\)，所以四个侧面的三边都是 \(\sqrt5,\sqrt5,\sqrt2\)，是全等等腰三角形；但底面不是正方形，所以不是正棱锥。注意这些等腰三角形的顶角不在锥顶。
自己试试：观察一个六棱柱，它的底面边数是 6。那么这个六棱柱的面数 \(F\)、顶点数 \(V\)、侧棱数分别等于：
C。六棱柱有 2 个底面加 6 个侧面，共 \(2+6=8\) 个面；每个底面有 6 个顶点，两底共 \(6\times 2=12\) 个顶点；连结上下对应顶点的侧棱恰有 6 条。故 \(F=8, V=12\)，侧棱数 6。
例 2
圆台的上、下底面半径分别为 \(1\) 和 \(3\)，母线长为 \(4\)。求：(1) 圆台的高；(2) 轴截面的面积。
解：
(1) 截取圆台轴截面等腰梯形的一半（直角梯形），由勾股定理：高 \(h = \sqrt{l^2 - (r_2 - r_1)^2} = \sqrt{4^2 - (3 - 1)^2} = \sqrt{16 - 4} = 2\sqrt{3}\)；
(2) 轴截面是等腰梯形，上底 \(2r_1 = 2\)，下底 \(2r_2 = 6\)，高 \(h = 2\sqrt{3}\)。面积 \(S = \dfrac{2 + 6}{2}\times 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\)。
自己试试：圆锥的底面半径为 \(3\)，高为 \(4\)，则它的轴截面面积是？
B。圆锥轴截面是底边为直径 \(2r=6\)、高为 \(h=4\) 的等腰三角形。面积 \(S = \dfrac{1}{2}\times 6\times 4 = 12\)。选 A 的同学误把底边当作了半径；选 C 的同学误把高用成了母线长 \(5\)。
3. 典型例题：三步思维链精讲
例 3（截面问题·空间几何体截面规律）
在正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中：
① 用一个平面去截正方体，截面形状可能是正五边形吗？为什么？
② 用一个平面去截一个三棱柱（2个底面加3个侧面），截面多边形的边数最多是几？
- 问截面可能是几边形 → 先数几何体的面数，边数不超过面数。
- 出现两个平行面被同一平面截到 → 想截交线平行，检查候选多边形是否具备对应平行边。
② 分析三棱柱截面：它有 \(2+3=5\) 个面，故截面至多有 5 条边。将截平面斜放，使它同时经过两个底面和三个侧面的内部，可以得到五边形；这时上界确实能达到。面数只给出上界，是否达到还须检查具体几何体。
② 遇到平行六面体截面，牢记相对平行面被截出的线段必然平行。
自己试试：用一个平面去截一个五棱柱（由 2 个底面和 5 个侧面围成），截面多边形的边数最多是：
C。五棱柱一共有 \(2+5=7\) 个面。一个平面去截多面体，最多能与全部 7 个面都相交，所以截面多边形的边数最多为 7。选 A 误以为只能截 5 条侧棱；选 D 误把棱数当成了面数上限。
4. 这三种情况最容易翻车
上下底面平行，侧面全为梯形，就直接断定是棱台。
棱台必须由棱锥平行截取！四条侧棱延长线必须交于同一点。若不交于一点，无法复原为棱锥，属于伪棱台！
侧面都是全等等腰三角形，就断定该棱锥为正棱锥。
正棱锥要求底面必须是正多边形！底面为菱形的四棱锥侧面完全可以全等，但底面非正方形，绝不是正棱锥。
以为三棱锥（4个面）可以截出五边形或六边形。
对于凸多面体，截面多边形的每条边来自一个面的交线，因此边数不超过几何体的总面数。是否能同时截到所有面，还要另作判断，不能把这个上界当成必能达到的最大值；三棱锥的四边形截面可以达到。
再深一点（可以先跳过）
分别数出三棱锥、正方体、三棱柱的顶点数 \(V\)、棱数 \(E\)、面数 \(F\)。试比较 \(V+F-E\)，能猜出凸多面体的一个规律吗？
展开思路与核对
凸多面体的欧拉公式：任意凸多面体的顶点数 \(V\)、面数 \(F\)、棱数 \(E\) 恒满足关系：\(V + F - E = 2\)。检验：三棱锥 \(4+4-6=2\)；正方体 \(8+6-12=2\)；三棱柱 \(6+5-9=2\)。
空间几何体 3D 投影与观察台
拖动滑块旋转视点角度，切换不同几何体，直观观察底面、侧棱及顶点在三维空间中的排布方式：
直接用
1. 下列图形绕指定轴旋转一周，能形成圆台的是：
B。圆台的两底面是互相平行的圆面，侧面是曲面。直角梯形中垂直于底边的腰与两底垂直，以这条腰为轴旋转，两底生成平行的两个圆面，斜腰旋转生成圆台侧面。
2. 一个多面体有 12 条棱、6 个面，且每个面都是四边形。该几何体一定是：
C。六棱柱有 8 个面、18 条棱；六棱锥有 7 个面、12 条棱（侧面全为三角形）；四棱柱有 6 个面（全为四边形）、12 条棱、8 个顶点（欧拉示性数 \(V-E+F = 8-12+6=2\)）。
易错
3. 关于棱台的性质，下列说法正确的是：
B。棱台是由平行于棱锥底面的平面截割棱锥所得，因此所有侧棱延长线必然恢复交汇于原棱锥顶点；A 的条件不足：取同中心、边分别平行的水平矩形，下底为 \(4\times2\)，上底为 \(2\times1.5\)。对应边连接后四侧面都是梯形，但两底长、宽的缩放比分别为 \(1/2\)、\(3/4\)，并非相似截面，所以不是棱台。C 中一般棱台的侧面面积不保证相等；正棱台可保证各侧面全等，但这不是必要条件。D 中真正的棱台由平行截面截割棱锥得到，两底面积不相等。
4. 用一个平面去截一个正方体，所得截面的边数最多是：
A。平面与正方体的每个面相交至多产生一条交线（一条边）。正方体总共只有 6 个面，截面与每个面最多相交一次，所以边数至多为 6（正六边形）。不可能截出七边形或八边形。
挑战进阶
5. 设某简单多面体有 \(V\) 个顶点、\(E\) 条棱、\(F\) 个面。若该多面体是一个正八面体（由两个共底的正四棱锥底面贴合而成），则它的面数、棱数、顶点数分别为：
D。正八面体有 8 个全等的正三角形面；每个顶点汇集 4 条棱，共 6 个顶点（上下各 1 个，赤道中间 4 个）；赤道底面 4 条边，上下各有 4 条侧棱，共 \(4+4+4=12\) 条棱。满足欧拉公式 \(V-E+F = 6-12+8=2\)。
本节高考真题
共 9 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 6.1 几何图形初中对棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球的初步认识与展开图分析，在高中深化为多面体与旋转体的严格结构定义及台体生成关系。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。