培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第二册 · 第 7 章 复数
7.3 复数的三角表示（选学）
用模长与辐角表示复数：让乘除法变成“模相乘除、角相加减”的旋转与伸缩，架起代数与平面几何的桥梁。
本节为选学内容，帮助建立代数与几何旋转的深层联系。
复平面上的点 \((1,0)\) 绕原点逆时针转 \(45^\circ\)，到原点的距离仍是 \(1\)。
终点对应哪个复数？先选一选。
B。终点的横、纵坐标都是 \(\dfrac{\sqrt2}{2}\)，分别是复数的实部和虚部。
看图比较（可选）
详细解释
转过 \(45^\circ\) 后，终点落在第一象限的角平分线上。
B。根据直角三角形与三角函数定义：向量长度 \(r=1\)，横坐标为 \(\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，纵坐标为 \(\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。所以对应的复数是 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}i\)。
用代数形式 \(a+bi\) 看起来，这一堆根号并不直观；但如果用“长度为 \(1\)、方向角为 \(45^\circ\)”来看，位置一目了然！这一节我们就来学习复数的三角表示：用距离和方向角描述复数，让几何旋转变成乘除运算。
再看乘 i 的旋转
在数轴上，乘以 \(-1\) 相当于绕原点转半圈。连续乘两次 \(i\) 就是乘以 \(-1\)。由 \((a+bi)i=-b+ai\)，点 \((a,b)\) 变为 \((-b,a)\)，所以乘一次 \(i\) 是逆时针转 \(90^\circ\)。下面用三角形式解释。
1. 先认识几个词
要用到：复数的代数形式、复平面和模（回看 7.1）；复数的乘除（回看 7.2）；任意角的三角函数（回看 5.2）；两角和与差的公式（回看 5.5）。
直角坐标体系：实部虚部分开，可以逐项加减，也可用分配律、共轭或先算低次幂完成乘除与乘方；根据题目选择便于计算的表示。
旋转与缩放：非零复数化为向径 \(r=|z|>0\) 与辐角 \(\theta\)。乘法化为“模相乘、角相加”，除法“模相除、角相减”，正整数次幂可用棣莫弗公式；涉及辐角的法则要求有关复数非零。
非零复数的模与辐角：设 \(z=a+bi\)，\(a,b\in\mathbb R\)，\(z\ne0\)。\(r=\sqrt{a^2+b^2} > 0\) 为点 \(Z(a,b)\) 到原点的距离；以正实轴为始边、射线 \(OZ\) 为终边的角 \(\theta\) 叫辐角，相差 \(2k\pi\)（\(k\in\mathbb Z\)）的角对应同一射线。零的模仍为 \(0\)，但它没有辐角。
本课的辐角主值约定：对非零复数，本课把 \(\arg z\) 取为无数个辐角中落在区间 \([0, 2\pi)\) 内的唯一值，含 \(0\)、不含 \(2\pi\)（如 \(\arg i = \frac{\pi}{2}\)，\(\arg(-1)=\pi\)）。负角也可以是合法辐角，只有题目要求主值时才按本课约定归入该区间。\(0\) 没有辐角，也没有辐角主值。
2. 核心公式与运算法则
② 几何乘法法则：\(z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]\)（模相乘，辐角相加，\(z_1,z_2\ne0\)）；
③ 几何除法法则：\(\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]\)（模相除，辐角相减，\(z_1,z_2\ne0\)；若仅分子为零，商为零，没有辐角）；
④ 棣莫弗公式（正整数次幂）：\(z^n = r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta)\)（\(z\ne0\)，\(n\in\mathbf{N}^*\)）。
为什么乘法会“模乘、角加”？
设 \(z_j=r_j(\cos\theta_j+i\sin\theta_j)\)，\(r_j>0\)。用分配律和 \(i^2=-1\) 展开：
\(z_1z_2=r_1r_2[(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)]\)。
两角和公式把两组括号分别化为 \(\cos(\theta_1+\theta_2)\) 与 \(\sin(\theta_1+\theta_2)\)，就得到乘法法则。除以非零复数等于乘它的倒数，倒数的模为 \(1/r_2\)、辐角可取 \(-\theta_2\)；正整数次幂则由重复相乘得到。
例 1（形式互化示范）
(1) 把 \(z=-\sqrt3+i\) 写成三角形式。(2) 把 \(w=2\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}+i\sin\dfrac{4\pi}{3}\right)\) 写成代数形式。
解：(1) 模 \(r=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}=2\)。\(\cos\theta=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)，\(\sin\theta=\dfrac12\)，点 \((-\sqrt3,1)\) 在第二象限，取 \(\theta=\dfrac{5\pi}{6}\)。
所以 \(z=2\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)，辐角主值 \(\dfrac{5\pi}{6}\)。
(2) \(\cos\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac12\)，\(\sin\dfrac{4\pi}{3}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\)，\(w=2\left(-\dfrac12-\dfrac{\sqrt3}{2}i\right)=-1-\sqrt3 i\)。
自己试试：把 \(z = 1 - i\) 化为标准三角形式，模和辐角主值是？
A。模 \(r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\)；\(\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin\theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，点 \((1,-1)\) 在第四象限，主值是 \(\dfrac{7\pi}{4}\)。
B 的表达式等于原复数，但所报的正角 \(\pi/4\) 不是它的辐角主值；C 的模忘了开方；D 的表达式也等于原复数，但外面的负系数不是模，所报的 \(r\) 不符合要求。
例题视频的完整问题
① 将 \(-\sqrt3+i\) 化为三角形式；② 将 \(2(\cos(4\pi/3)+i\sin(4\pi/3))\) 化为代数形式。视频随后另外比较 \(2(\cos(\pi/3)-i\sin(\pi/3))\)，后者是改变条件的对比题。
例 2（乘除法示范）
设 \(z_1=\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)，\(z_2=\sqrt3\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)。求 \(z_1 z_2\)。
解：模相乘：\(r = \sqrt2 \times \sqrt3 = \sqrt6\)；辐角相加：\(\theta = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{12}\)。
所以 \(z_1 z_2 = \sqrt6\left(\cos\dfrac{5\pi}{12} + i\sin\dfrac{5\pi}{12}\right)\)。
自己试试：已知 \(z_1 = 4\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)，\(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)，则 \(z_1 z_2\) 等于？
A。模相乘：\(4\times 3 = 12\)；角相加：\(\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}\)。
所以 \(z_1 z_2 = 12\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 12(0 + i) = 12i\)。选 C 的同学模相加了；选 D 的同学角算成了相减。
3. 典型例题：三步思维链精讲
例 3（选学综合·高次幂与复数除法）
已知复数 \(z_1 = \sqrt{3} + i\)，\(z_2 = 1 + i\)。
① 将 \(z_1\) 化为三角形式，并求 \(z_1^6\) 的值；
② 计算 \(\dfrac{z_1}{z_2}\) 的模与辐角主值。
- 复数有乘方、除法并要求辐角 → 想三角形式，把模相乘相除、辐角相加相减。
- 要求主辐角或象限 → 先判断实部虚部符号，再把角度调整到规定范围。
故 \(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)；
由棣莫弗公式：\(z_1^6 = 2^6\left[\cos\left(6\times\dfrac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(6\times\dfrac{\pi}{6}\right)\right] = 64(\cos\pi + i\sin\pi) = 64(-1 + 0) = \) \(-64\)！
② 计算商 \(\dfrac{z_1}{z_2}\)：
\(z_2 = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)；
模相除：\(r = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)；
辐角相减：\(\theta = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{12}\)；
负角加 \(2\pi\) 化为主值：\(-\dfrac{\pi}{12} + 2\pi = \dfrac{23\pi}{12}\)。
② 棣莫弗指数不仅作用在角上（乘 6），模长也必须求 6 次方（\(2^6=64\)）；
③ 按本课约定，辐角主值落在 \([0, 2\pi)\) 内，本例的负角加 \(2\pi\) 得到本课主值；一般辐角可能需要加减整数倍 \(2\pi\)。
独立验算：\((\sqrt3+i)^2=2+2\sqrt3i\)，再乘 \(\sqrt3+i\) 得 \(z_1^3=8i\)，所以 \(z_1^6=(8i)^2=-64\)。商也可写成 \(\dfrac{(\sqrt3+i)(1-i)}2=\dfrac{\sqrt3+1}2+\dfrac{1-\sqrt3}2i\)。两种表示可以相互核对。
自己试试：\(z_1=3\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)，\(z_2=6\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\)。\(\dfrac{z_1}{z_2}=\)？
A。模 \(\dfrac36=\dfrac12\)；辐角 \(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{5\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{2}\)，所以商 \(=\dfrac12(0-i)=-\dfrac12 i\)。选 B 算反了角；选 C 模除反了。
综合视频的完整问题与示意图约定
已知 \(z_1=\sqrt3+i\)、\(z_2=1+i\)：① 化 \(z_1\) 为三角形式并求 \(z_1^6\)；② 求 \(z_1/z_2\) 的模与本课辐角主值。高次幂段的无坐标轴图仅示方向、箭头长度归一，实际模依次为 \(2,4,8,64\)。视频最后把分子改为零，作为另一个边界问题。
4. 这三种情况最容易翻车
对 \(z = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} - i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) 误读出辐角为 \(\dfrac{\pi}{3}\)。
先改写成标准的加号结构，再直接读模与角。利用诱导公式化为 \(2\left[\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]\)，辐角主值是 \(\dfrac{5\pi}{3}\)（第四象限）。
对 \(z = -1 - i\) 由 \(\tan\theta = 1\) 误写出辐角主值 \(\dfrac{\pi}{4}\)。
点 \((-1, -1)\) 位于第三象限！必须同时满足正余弦符号，辐角主值是 \(\pi + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4}\)。
写出 \(0 = 0(\cos 0 + i\sin 0)\)，认为 \(\arg 0 = 0\)。
原点没有确定方向，复数 0 没有辐角。恒等式 \(0(\cos\theta+i\sin\theta)=0\) 对任意 \(\theta\) 都成立，但不能由此给零定义辐角；它也不属于本课 \(r>0\) 的标准三角形式。
再深一点（可以先跳过）
试求 \(z^3=1\) 的所有复数根：它们的模、辐角分别有什么特点？在单位圆上标出这些点，连起来是什么图形？
展开思路与核对
模满足 \(|z|^3=1\)，故 \(|z|=1\)。由三倍辐角为 \(2k\pi\)，得到三个根的辐角为 \(0,2\pi/3,4\pi/3\)，对应点构成正三角形。
方程 \(z^n=1\) 的根（\(n\) 为正整数）：模为 1、辐角为 \(\dfrac{2k\pi}{n}\)（\(k=0,1,\dots,n-1\)）的 \(n\) 个根，当 \(n\ge3\) 时正好是单位圆内接正 \(n\) 边形的顶点。\(n=1\) 时只有点 \(1\)，\(n=2\) 时为一条直径的两个端点 \(\pm1\)。这里辐角的多值性至关重要。
① 极坐标与代数形式：拖动手柄改变模长与辐角
虚线同心圆代表模长 \(r=1,2,3\)，射线代表典型辐角。在复平面上拖动圆点 \(Z\)（或选中后用方向键微调），也可以调节下方的滑块。观察三角形式与代数形式的实时对应，特别注意把 \(r\) 调为 \(0\) 时的变化。
② 进阶：复数乘法的几何意义——旋转与拉伸
固定基础复数 \(z_1 = 1+i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)（金色）。调节乘数 \(z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\)（黛蓝），观察乘积 \(w = z_1 z_2\)（松绿）在复平面上的变换。点击预设按钮感受经典几何变换！
从易到难排好了。前两道直接用，中间两道考察专题卡边界与易错点，最后一道是综合挑战。
直接用
1. 复数 \(z = 4\left(\cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)\) 的代数形式 \(a+bi\) 是？
A。计算特殊角三角函数值：\(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)，\(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)。
展开可得：\(z = 4\left(-\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -2 + 2\sqrt{3}i\)。
2. 已知 \(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)，\(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)，则 \(z_1 z_2\) 等于？
B。应用复数乘法的三角法则：模相乘、辐角相加。
模长为 \(2 \times 3 = 6\)；辐角为 \(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}\)。
所以 \(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6(0 + i) = 6i\)。
选 C 的同学错把模长相加了；选 D 的同学把辐角相减了（\(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\)），乘法要相加。
易错
3. 下列各式中，哪一个按所写形式即可直接读出正的模与同一个辐角，无需先改写？
D。直接读模与角的标准结构满足：模 \(r > 0\)；中间必须是加号；前余弦、后正弦；两处角完全一致。
A 外面的系数为 \(-2\)，不是模；这个复数的实际模是 \(2\)，需把负号并入角后再按标准形式读数；
B 可用余弦的偶性、正弦的奇性改写成角 \(-\pi/4\) 的标准形式，但不能把所写的正角直接读成辐角；
C 中的两个角不相同，不能直接把外面的 \(2\) 当成模；
D 完全符合标准结构（它对应的正是点 \((\sqrt{2}, -\sqrt{2})\) 在第四象限的三角形式）。
4. 关于复数 \(z = 0\) 的模与辐角，下列说法正确的是？
B。复数 \(0\) 在复平面上对应原点 \(O\)。到原点的距离（模）确定且等于 \(0\)；但从原点出发不能确定一条射线的方向，因此零复数没有辐角，也没有辐角主值。
虽然 \(0(\cos\theta+i\sin\theta)=0\) 对任意角成立，它不赋予零一个方向。除数必须非零，源于零没有乘法逆元；若分子为零、除数非零，商为零，模为零而没有辐角。
挑战
5. 复数 \(z_1 = 1 + \sqrt{3}i\)，\(z_2 = 1 + i\)。计算商 \(\dfrac{z_1}{z_2}\) 的模与辐角主值是？
A。化为三角形式：
\(z_1 = 1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)，模 \(r_1 = 2\)，\(\arg z_1 = \dfrac{\pi}{3}\)；
\(z_2 = 1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\)，模 \(r_2 = \sqrt{2}\)，\(\arg z_2 = \dfrac{\pi}{4}\)。
根据除法法则（模相除、角相减）：
模长为 \(\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)；辐角为 \(\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12}\)。
所以 \(\dfrac{z_1}{z_2} = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\)。也可用共轭把分母实数化，得到 \(\dfrac{1+\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3-1}{2}i\)，再核对它的模与象限。
本节真题与练习
真题 0 道、原创 1 道；共 1 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部题目。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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本节为选学内容。下列已收录真题用三角表示再解一次，也可用代数方法验算；在这里练习不表示三角表示成为必考要求。选择题点选项自动判对错；填空题写法不同时，看答案自己判。要用到后面章节的题收在最后，学到那里再做。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。
复数的三角形式与指数形式复数的概念与运算复数综合复数的几何意义
打开一试专题地图，还有 1 个专题也以这一节为先修