7.2 复数的四则运算

A。很自然！实部 \(1+3=4\)，虚部 \(2+4=6\)，合起来就是 \(4+6i\)。

复数的加减法，跟多项式合并同类项一模一样：实部与实部算，虚部与虚部算。

那如果遇到两个虚数相乘（会出现 \(i^2\)），或者除法（分母上有 \(i\)），该怎么算？这一节我们就把复数的加、减、乘、除四则运算与几何意义一次讲透。

B。实部相减：\(2 - 4 = -2\)；虚部相减：\(3 - (-1) = 4\)，所以结果为 \(-2 + 4i\)。选 A 的同学把虚部算成了 \(3 - 1 = 2\)（漏掉负负得正）。

A。展开：\(2 - i + 4i - 2i^2 = 2 + 3i - 2(-1) = 4 + 3i\)。选 B 的同学忘了算常数项 \(2 - (-2) = 4\)。

D。分子分母同乘 \(1-i\)：\(\dfrac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{2(1-i)}{1 - i^2} = \dfrac{2(1-i)}{2} = 1 - i\)。选 B 的同学分子乘了共轭，分母却忘了乘以共轭。

A。展开得 \(2 - 4i + i - 2i^2 = 2 - 3i - 2(-1) = 4 - 3i\)。

选 B 的同学漏算了 \(-2i^2 = +2\)；选 C 的同学虚部符号搞反。

B。先化简 \(z\)：分子分母同乘 \(1+i\)，得 \(z = \dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{3+3i+i+i^2}{1-(-1)} = \dfrac{2+4i}{2} = 1 + 2i\)。

注意题目问的是共轭复数 \(\overline{z}\)，虚部变号，得 \(\overline{z} = 1 - 2i\)。选 A 的同学直接选了 \(z\) 而忘了求共轭！

B。实数根式的乘法公式 \(\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}\) 要求 \(a,b\ge0\)；本题两个因子中的 \(i\) 不能丢掉。

两因子已写明是 \(\sqrt3 i\) 与 \(2\sqrt3 i\)。相乘得 \((\sqrt{3}i)(2\sqrt{3}i) = 6i^2 = -6\)。

若只算 \(\sqrt3\cdot2\sqrt3=6\) 而漏掉 \(i^2=-1\)，就会误得正六。这里不引入负数根式的主值约定。

C。因为 \(i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1\)，连续四项之和 \(i + i^2 + i^3 + i^4 = 0\)。以 4 为周期循环。

一共有 2026 项，\(2026 \div 4 = 506\) 余 \(2\)。因此前 \(506\times 4 = 2024\) 项全部抵消为 0，只剩下最后两项：\(i^{2025} + i^{2026} = i^1 + i^2 = i + (-1) = -1 + i\)。

B。复数没有本章意义下的大小顺序，只要含有非零虚部，两个复数就绝不能写大于号或小于号！A、C、D 都是严重的概念错误。

但是，模长 \(|z_1| = \sqrt{3^2+4^2}=5\)，\(|z_2| = \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)，模长是实数，可以比较大小，\(|z_1| > |z_2|\)。

回顾：只求模时可先应用正文⑤的模的乘除性质；含商时仍须确认除数非零。

A。注意 \(|3-4i| = \sqrt{3^2+(-4)^2} = 5\) 是实数，所以等式为 \((1+i)z = 5 + 3i\)。

方法一（速算模长）：两边同时取模，\(|(1+i)z| = |1+i| \cdot |z| = \sqrt{2}|z|\)。右边模长 \(|5+3i| = \sqrt{5^2+3^2} = \sqrt{34}\)。所以 \(|z| = \dfrac{\sqrt{34}}{\sqrt{2}} = \sqrt{17}\)。

方法二（先求 \(z\)）：\(z = \dfrac{5+3i}{1+i} = \dfrac{(5+3i)(1-i)}{2} = \dfrac{8-2i}{2} = 4-i\)，则 \(|z| = \sqrt{4^2+(-1)^2} = \sqrt{17}\)。