必修第二册 · 第 7 章复数

7.1 复数的概念

在实数范围内，负数没有平方根。引入虚数单位 $i$，数从一维数轴扩充到二维复平面。实部、虚部、模长与几何意义，一次搞明白。

我们已经用实数解过许多方程。

方程 $x^2+1=0$ 在实数范围内有解吗？

回看数的扩充

回顾数系的扩充历程，每一次都是因为“现有的数不够用了”：

小减大减不出来，引入了负数，扩充到整数；
整数相除（除数非零）不一定得到整数，例如 $1\div2$，引入分数，扩充到有理数；
正方形边长 $\sqrt{2}$ 无法表示为分数，引入了无理数，扩充到实数。

在实数范围内，任何数的平方都不能是负数（$x^2 \ge 0$）。可如果解下面这个方程呢？

1. 先认识几个词

要用到：实数与平方根（初中学过）；平面向量与坐标表示（必修第二册第 6 章）。

直觉微图解

分类判定 ①实数、虚数与纯虚数

设 $z = a + bi$（$a, b \in \mathbf{R}$）：
• $b = 0 \implies$ 实数（包括 $0 = 0 + 0i$！）；
• $b \ne 0 \implies$ 虚数；
• $a = 0$ 且 $b \ne 0 \implies$ 纯虚数（原点 $0$ 是实数绝不是纯虚数！）。

本质区别 ②实数可以比较大小，一般复数不沿用这种顺序

本章不规定一般复数的大小顺序：不能把实数的大小关系直接用于 $2+3i$ 与 $1+2i$。实数之间仍可比较大小；复数的模长 $|z|$ 是非负实数，也可以比较大小。

虚数单位 $i$：规定 $i^2 = -1$。在复数范围内，方程 $x^2=-4$ 有两个解 $x=\pm2i$，因为 $(\pm2i)^2=-4$。

复数的代数形式 $z = a + bi$：$a, b \in \mathbf{R}$。$a$ 叫做实部，实数 $b$ 叫做虚部（特别注意：虚部是实数 $b$，绝不是 $bi$！）。

复平面与向量对应：横轴为实轴，纵轴为虚轴。复数 $z = a + bi$ 一一对应复平面内的点 $Z(a, b)$，也一一对应平面向量 $\overrightarrow{OZ} = (a, b)$。

2. 核心公式与复数相等定理

① 复数代数式：$z = a + bi$（$a, b \in \mathbf{R}$，实部 $a$，虚部 $b$ 为实数）；
② 复数相等充要条件（$a,b,c,d\in\mathbf{R}$）：$a + bi = c + di \iff a = c \text{ 且 } b = d$（实部对实部，虚部对虚部，一个等式拆两个方程）；
③ 模长公式：$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = |\overrightarrow{OZ}|$（几何意义为点到原点的欧氏距离，非负实数）；
④ 共轭复数：$\bar{z} = a - bi$（复平面关于实轴上下镜像，且 $z\bar{z} = a^2 + b^2 = |z|^2$）。

例 1（复数相等与方程）

已知实数 $x, y$ 满足 $(x + 2) + (y - 3)i = 0$，求 $x, y$ 的值。

解：因为 $0 = 0 + 0i$，由复数相等的充要条件得：

$\begin{cases} x + 2 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -2 \\ y = 3 \end{cases}$

所以 $x = -2$，$y = 3$。

自己试试：已知复数 $z = (2x - 4) + (x + 1)i$（$x \in \mathbf{R}$）是纯虚数，则实数 $x$ 的值是？

B。纯虚数必须同时满足两件事：

实部等于 $0$：$2x - 4 = 0 \implies x = 2$；
虚部不等于 $0$：$x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$。

检验：将 $x = 2$ 代入得虚部为 $2 + 1 = 3 \ne 0$，符合条件。选 C 的同学忽略了纯虚数的虚部不能为 $0$：若 $x = -1$，复数为 $-6 + 0i = -6$，是实数而不是纯虚数！

视频例题：二次参数的复数分类

设 $m\in\mathbf{R}$，$z=(m^2+m-2)+(m-1)i$。分别求 $z$ 为实数、虚数、纯虚数时 $m$ 的取值。

实数要求虚部为零：$m-1=0$，即 $m=1$；虚数要求虚部非零，即 $m\ne1$。

纯虚数还要求实部为零：$(m+2)(m-1)=0$，且 $m-1\ne0$。舍去使 $z=0$ 的 $m=1$，得到 $m=-2$，此时 $z=-3i$。下方视频讲解这三类；上方线性参数题用于自己练习。

共轭乘积还用于7.2 的复数除法，把分母化为非零实数。

3. 典型例题：三步思维链精讲

例 2（高频综合·参数分类与象限判定）

已知复数 $z = (m^2 - m - 2) + (m^2 - 1)i$（$m \in \mathbf{R}$）。
① 若 $z$ 为实数，求 $m$ 的值；
② 若 $z$ 为纯虚数，求 $m$ 的值；
③ 若 $z$ 对应复平面上的点位于第二象限，求 $m$ 的取值范围。

👀 看到什么 → 想什么

复数含参数且问实数、纯虚数或象限 → 先分离实部和虚部，再按定义列方程或不等式。
问两个复数相等 → 分别比较实部与虚部，不能只比较模长。

🔧 第二步·套公式拆解

拆分实部与虚部：实部 $a = m^2 - m - 2 = (m-2)(m+1)$，虚部 $b = m^2 - 1 = (m-1)(m+1)$；
① 若 $z$ 为实数 $\iff$ 虚部 $b = 0 \implies (m-1)(m+1) = 0 \implies$ $m = 1$ 或 $m = -1$；
② 若 $z$ 为纯虚数 $\iff$ 实部 $a = 0$ 且虚部 $b \ne 0$：
    由 $a = 0 \implies m = 2$ 或 $m = -1$；但 $m = -1$ 会导致虚部 $b = 0$（$z=0$ 成为实数），必须舍去！
    故唯一解为 $m = 2$（此时 $z = 3i$）；
③ 位于第二象限 $\iff$ 实部 $a < 0$ 且虚部 $b > 0$：
    $(m-2)(m+1) < 0 \implies -1 < m < 2$；
    $m^2 - 1 > 0 \implies m > 1$ 或 $m < -1$；
    求交集得 $1 < m < 2$。

🛡️ 第三步·必查防坑点

① 纯虚数判定是“实部为零且虚部非零”双重条件，漏掉虚部非零检验必扣分；
② 象限点不含坐标轴，不等式严格取大于号或小于号，不能带等号。

下方视频逐步讲解上面的例 2：实数、纯虚数与第二象限的参数分类。

自己试试：已知复数 $z = a - 2i$（$a \in \mathbf{R}$），且 $|z| = \sqrt{13}$，在复平面内对应的点在第四象限，则 $a$ 的值是？

A。由模长公式：$|z| = \sqrt{a^2 + (-2)^2} = \sqrt{a^2 + 4} = \sqrt{13}$，两边平方得 $a^2 + 4 = 13 \implies a^2 = 9 \implies a = \pm 3$。

因为点落在第四象限，横坐标（实部）必须为正，即 $a > 0$，因此 $a = 3$。选 C 的同学漏看了象限对符号的正负约束。

4. 这三种情况最容易翻车

翻车现场 ①把虚部错误写成带 i 的项

错解

认为复数 $z = 3 + 4i$ 的虚部是 $4i$。

正解

实部是实数 $3$，虚部是实数 $4$！实部和虚部本身都是实数，绝不带字母 $i$。

翻车现场 ②虚数妄图比较大小

错解

写出 $3i > 2i$ 或 $2 + 3i > 1 + 2i$。

正解

本章不为一般复数规定实数式的大小顺序，因此不写 $3i>2i$。但模长是实数，可以写 $|3i|=3>2=|2i|$。

翻车现场 ③纯虚数漏检“虚部不为 0”

错解

只令实部等于 $0$，误把 $0 = 0 + 0i$ 当作纯虚数。

正解

$0$ 的虚部也是 $0$，所以 $0$ 是实数！纯虚数必须同时满足实部为 $0$ 且虚部不为 $0$。

再深一点（可以先跳过）

给定 $|z_1|,|z_2|$，$|z_1+z_2|$ 与 $|z_1-z_2|$ 能达到怎样的上下界？什么时候取等号？先试两个共线向量。

展开思路与核对

复数加减的向量本质：复数加减对应平面向量加减，模长满足三角不等式：$||z_1| - |z_2|| \le |z_1 \pm z_2| \le |z_1| + |z_2|$。非退化三角形满足严格的两边关系；退化为共线情形时可取等号，所以这里写不等号 $\le$。

两复数都非零时，和的上界在同向时取到，下界在反向时取到；差的上界在反向时取到，下界在同向时取到。若有一个复数为零，两界相同，都取等号。

① 复平面：拖动点 Z，观察实部、虚部、模长与状态

拖动点 $Z(a, b)$（或选中后按方向键移动）。观察复数代数形式、实虚部分解、模长 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 以及点落在坐标轴上的类型变化。

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是高频易错红线，最后一道是几何综合挑战。

直接用

1. 复数 $z = 2 - 3i$ 的虚部是？

A。在代数形式 $z = a + bi$ 中，虚部是 $i$ 前面的实数系数 $b$，带符号是 $-3$，不能带 $i$。选 B 的同学混淆了“虚数项”与“虚部”；选 D 是实部。

2. 复数 $z = -1 + \sqrt{3}i$ 的模长 $|z|$ 等于？

B。模长公式为 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$。选 C 的同学算出了 $a^2 + b^2 = 4$ 却忘了开平方。

易错

3. 已知复数 $z = (m^2 - 1) + (m - 1)i$（$m \in \mathbf{R}$）是纯虚数，则实数 $m$ 的值是？

B。纯虚数必须满足两个条件：实部为 $0$ 且虚部不为 $0$。

由实部 $m^2 - 1 = 0$ 得 $m = 1$ 或 $m = -1$；
由虚部 $m - 1 \ne 0$ 得 $m \ne 1$。

两者综合只能取 $m = -1$。若 $m = 1$，则 $z = 0$ 是实数，绝不是纯虚数！这是高频陷阱。

4. 下列关于复数的说法中，正确的是？

C。本章不把实数的大小关系用于一般复数，因此 A、B 的比较没有本章定义的含义，D 也不成立。但模长是实数，可以比较大小：$|2 + 3i| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$，$|1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$，因为 $\sqrt{13} > \sqrt{5}$，所以 C 正确。

5. 已知实数 $a \in \mathbf{R}$，复数 $z = (a - 1) + (a^2 - 4)i$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则 $a$ 的取值范围是？

B。点在第二象限要求横坐标（实部）小于 $0$ 且纵坐标（虚部）大于 $0$：