2008 年湖南预赛 · 第 10 题

解答

记 $R=\sqrt{2008}$。若圆盘内点的横坐标为正，反射到相反横坐标就给另一个更优点；若纵坐标为负，同理向上反射可改善。若点在西北闭象限、在圆盘内部且不为原点，沿原点射线放大到圆周，两坐标按要求改善；原点也被 $(-R,0)$ 优于。因此候选只可能在西北圆周。反过来，设 $Q$ 在该圆周，若 $P$ 优于它，则 $x_P\le x_Q\le 0$、$y_P\ge y_Q\ge 0$，所以两坐标平方分别不减，而它们的平方和不能超过 $R^2$。只能两坐标都相等，故不存在另一个优于它的点。所求集合为 $\boxed{\{(x,y):x^2+y^2=2008,x\le 0,y\ge 0\}}$。