2018 年中科大少年班初试 · 第 8 题

解答

设 $P=(u,v)$，则 $\overrightarrow{PO}=(-u,-v)$。它逆时针旋转直角后为 $(v,-u)$，因此 $Q=(u+v,v-u)$。这个线性变换把距离平方乘二，并把原圆心 $(2,1)$ 变为 $(3,-1)$。所以轨迹为 $\boxed{(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=2}$。反变换 $u=(x-y)/2,v=(x+y)/2$ 存在，故新圆上每一点都可由原圆上点得到。